Номер 3, страница 54, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 32. Преобразование энергии при механических колебаниях - номер 3, страница 54.

Условие.

3. Пружинный маятник состоит из лёгкой пружины жёсткостью $k = 10 \text{ Н/м}$ и грузика массой $m = 400 \text{ г}$, который может без трения перемещаться вдоль горизонтальной оси. В таблице показаны положения грузика в разные моменты времени при гармонических колебаниях. Заполните таблицу, написав выражения для расчёта неизвестных величин и определив их. Считайте, что длина одной клеточки на оси $\text{X}$ равна $1 \text{ см}$.

Рис. 28

Грузик маятника покоится в положении равновесия

В начальный момент времени $t_0 = 0$ смещение грузика максимально по модулю и равно __________, а скорость грузика равна нулю. При этом потенциальная энергия пружины $\Pi(t_0) = \_\_\_$, а кинетическая энергия грузика $K(t_0) = \_\_\_$

В момент времени $t_1$ смещение грузика $x(t_1) = \_\_\_$, скорость грузика $v(t_1) = \_\_\_$. При этом потенциальная энергия пружины $\Pi(t_1) = \_\_\_$, а кинетическая энергия грузика $K(t_1) = \_\_\_$.

В момент времени $t_2$:
$x(t_2) = \_\_\_$ $\Pi(t_2) = \_\_\_$
$v(t_2) = \_\_\_$ $K(t_2) = \_\_\_$

В момент времени $t_3$:
$x(t_3) = \_\_\_$ $\Pi(t_3) = \_\_\_$
$v(t_3) = \_\_\_$ $K(t_3) = \_\_\_$

В момент времени $t_4$:
$x(t_4) = \_\_\_$ $\Pi(t_4) = \_\_\_$
$v(t_4) = \_\_\_$ $K(t_4) = \_\_\_$

Решение.

Дано:

Жёсткость пружины: $k = 10 \text{ Н/м}$

Масса грузика: $m = 400 \text{ г}$

Масштаб по оси Х: $1 \text{ клетка} = 1 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

Масса грузика: $m = 0.4 \text{ кг}$

Масштаб по оси Х: $1 \text{ клетка} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Величины $x, v, \Pi, K$ для моментов времени $t_0, t_1, t_2, t_3, t_4$.

Решение:

1. Определим амплитуду колебаний $A$. Из рисунков к таблице видно, что максимальное смещение груза от положения равновесия составляет 4 клетки. Следовательно, амплитуда равна:

$A = 4 \text{ клетки} \cdot 1 \frac{\text{см}}{\text{клетка}} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

2. Рассчитаем циклическую частоту колебаний $\omega$ по формуле:

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{10 \text{ Н/м}}{0.4 \text{ кг}}} = \sqrt{25 \text{ с}^{-2}} = 5 \text{ рад/с}$

3. Найдём максимальную скорость груза $v_{max}$, которая достигается при прохождении положения равновесия ($x=0$):

$v_{max} = A \cdot \omega = 0.04 \text{ м} \cdot 5 \text{ рад/с} = 0.2 \text{ м/с}$

4. Полная механическая энергия маятника $E$ сохраняется, так как трение отсутствует. Рассчитаем её по максимальной потенциальной энергии:

$E = \frac{k A^2}{2} = \frac{10 \text{ Н/м} \cdot (0.04 \text{ м})^2}{2} = \frac{10 \cdot 0.0016}{2} \text{ Дж} = 0.008 \text{ Дж}$

Теперь заполним таблицу, используя полученные данные.

В начальный момент времени $t_0 = 0$ смещение грузика максимально по модулю и равно __________, а скорость грузика равна нулю. При этом потенциальная энергия пружины $\Pi(t_0) = $ __________, а кинетическая энергия грузика $K(t_0) = $ __________

В момент $t_0=0$ грузик находится в крайнем левом положении (максимального сжатия).

Смещение: $x(t_0) = -A = -0.04 \text{ м} = -4 \text{ см}$.

Скорость в крайней точке равна нулю: $v(t_0) = 0 \text{ м/с}$.

Потенциальная энергия пружины в этой точке максимальна и равна полной энергии:

$\Pi(t_0) = \frac{k x(t_0)^2}{2} = \frac{10 \cdot (-0.04)^2}{2} = 0.008 \text{ Дж}$.

Кинетическая энергия груза равна нулю, так как он неподвижен:

$K(t_0) = \frac{m v(t_0)^2}{2} = \frac{0.4 \cdot 0^2}{2} = 0 \text{ Дж}$.

Ответ: смещение равно $-4 \text{ см}$, $\Pi(t_0) = 0.008 \text{ Дж}$, $K(t_0) = 0 \text{ Дж}$.

В момент времени $t_1$ смещение грузика $x(t_1) =$ __________, скорость грузика $v(t_1) =$ __________. При этом потенциальная энергия пружины $\Pi(t_1) =$ __________, а кинетическая энергия грузика $K(t_1) = $ __________

В момент времени $t_1$ грузик проходит положение равновесия, двигаясь в положительном направлении оси X.

Смещение в положении равновесия: $x(t_1) = 0 \text{ м}$.

Скорость в этот момент максимальна: $v(t_1) = v_{max} = 0.2 \text{ м/с}$.

Потенциальная энергия пружины равна нулю, так как пружина не деформирована:

$\Pi(t_1) = \frac{k x(t_1)^2}{2} = \frac{10 \cdot 0^2}{2} = 0 \text{ Дж}$.

Кинетическая энергия груза максимальна и равна полной энергии:

$K(t_1) = \frac{m v(t_1)^2}{2} = \frac{0.4 \cdot (0.2)^2}{2} = 0.008 \text{ Дж}$.

Ответ: $x(t_1) = 0$, $v(t_1) = 0.2 \text{ м/с}$, $\Pi(t_1) = 0 \text{ Дж}$, $K(t_1) = 0.008 \text{ Дж}$.

В момент времени $t_2$: $x(t_2) = $ __________ $v(t_2) = $ __________ $\Pi(t_2) = $ __________ $K(t_2) = $ __________

В момент времени $t_2$ грузик достигает крайнего правого положения (максимального растяжения).

Смещение: $x(t_2) = +A = 0.04 \text{ м} = 4 \text{ см}$.

Скорость в крайней точке равна нулю: $v(t_2) = 0 \text{ м/с}$.

Потенциальная энергия пружины снова максимальна:

$\Pi(t_2) = \frac{k x(t_2)^2}{2} = \frac{10 \cdot (0.04)^2}{2} = 0.008 \text{ Дж}$.

Кинетическая энергия груза равна нулю:

$K(t_2) = \frac{m v(t_2)^2}{2} = \frac{0.4 \cdot 0^2}{2} = 0 \text{ Дж}$.

Ответ: $x(t_2) = 4 \text{ см}$, $v(t_2) = 0 \text{ м/с}$, $\Pi(t_2) = 0.008 \text{ Дж}$, $K(t_2) = 0 \text{ Дж}$.

В момент времени $t_3$: $x(t_3) = $ __________ $v(t_3) = $ __________ $\Pi(t_3) = $ __________ $K(t_3) = $ __________

В момент времени $t_3$ грузик снова проходит положение равновесия, двигаясь в отрицательном направлении оси X.

Смещение: $x(t_3) = 0 \text{ м}$.

Скорость максимальна по модулю и направлена влево: $v(t_3) = -v_{max} = -0.2 \text{ м/с}$.

Потенциальная энергия пружины равна нулю:

$\Pi(t_3) = \frac{k x(t_3)^2}{2} = \frac{10 \cdot 0^2}{2} = 0 \text{ Дж}$.

Кинетическая энергия груза снова максимальна:

$K(t_3) = \frac{m v(t_3)^2}{2} = \frac{0.4 \cdot (-0.2)^2}{2} = 0.008 \text{ Дж}$.

Ответ: $x(t_3) = 0$, $v(t_3) = -0.2 \text{ м/с}$, $\Pi(t_3) = 0 \text{ Дж}$, $K(t_3) = 0.008 \text{ Дж}$.

В момент времени $t_4$: $x(t_4) = $ __________ $v(t_4) = $ __________ $\Pi(t_4) = $ __________ $K(t_4) = $ __________

В момент времени $t_4$ грузик возвращается в исходное крайнее левое положение, завершив один полный цикл колебаний.

Смещение: $x(t_4) = -A = -0.04 \text{ м} = -4 \text{ см}$.

Скорость в крайней точке равна нулю: $v(t_4) = 0 \text{ м/с}$.

Потенциальная энергия пружины максимальна:

$\Pi(t_4) = \frac{k x(t_4)^2}{2} = \frac{10 \cdot (-0.04)^2}{2} = 0.008 \text{ Дж}$.

Кинетическая энергия груза равна нулю:

$K(t_4) = \frac{m v(t_4)^2}{2} = \frac{0.4 \cdot 0^2}{2} = 0 \text{ Дж}$.

Ответ: $x(t_4) = -4 \text{ см}$, $v(t_4) = 0 \text{ м/с}$, $\Pi(t_4) = 0.008 \text{ Дж}$, $K(t_4) = 0 \text{ Дж}$.