Номер 5, страница 55, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 32. Преобразование энергии при механических колебаниях - номер 5, страница 55.

Условие.

5. Пружинный маятник состоит из легкой пружины жесткостью $\text{k}$ и грузика массой $\text{m}$. В начальный момент времени смещение грузика равно $\text{A}$. После отпускания грузика из этого положения с нулевой начальной скоростью он совершает свободные гармонические колебания. Заполните таблицу, ответив на вопросы.

Каков период свободных гармонических колебаний этого пружинного маятника?

Как изменится период колебаний, если жесткость пружины при прочих равных условиях увеличить в 4 раза?

Как изменится период колебаний, если массу грузика при прочих равных условиях увеличить в 4 раза?

Как нужно изменить массу грузика, чтобы период его колебаний при прочих равных условиях увеличился в 3 раза?

Как нужно изменить жесткость пружины, чтобы период его колебаний при прочих равных условиях уменьшился в 2 раза?

Решение.

Каков период свободных гармонических колебаний этого пружинного маятника?

Период свободных гармонических колебаний пружинного маятника определяется его физическими характеристиками: массой груза $m$ и жёсткостью пружины $k$. Период не зависит от амплитуды колебаний $A$ (при условии, что колебания являются гармоническими, т.е. пружина подчиняется закону Гука). Формула для расчёта периода $T$ имеет вид:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Ответ: Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

Как изменится период колебаний, если жёсткость пружины при прочих равных условиях увеличить в 4 раза?

Дано:
Новая жёсткость $k_2 = 4k_1$ (где $k_1$ - начальная жёсткость).
Масса не изменяется: $m_1 = m_2 = m$.

Найти:
Отношение нового периода к начальному $\frac{T_2}{T_1}$.

Решение:
Формула периода колебаний пружинного маятника: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.
Начальный период: $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}$.
Новый период: $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{4k_1}}$.
Найдём отношение нового периода к начальному:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{m/(4k_1)}}{2\pi\sqrt{m/k_1}} = \sqrt{\frac{m/4k_1}{m/k_1}} = \sqrt{\frac{k_1}{4k_1}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, период колебаний уменьшится в 2 раза.

Ответ: Период колебаний уменьшится в 2 раза.

Как изменится период колебаний, если массу грузика при прочих равных условиях увеличить в 4 раза?

Дано:
Новая масса $m_2 = 4m_1$ (где $m_1$ - начальная масса).
Жёсткость не изменяется: $k_1 = k_2 = k$.

Найти:
Отношение нового периода к начальному $\frac{T_2}{T_1}$.

Решение:
Формула периода колебаний пружинного маятника: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.
Начальный период: $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$.
Новый период: $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{4m_1}{k}}$.
Найдём отношение нового периода к начальному:
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{4m_1/k}}{2\pi\sqrt{m_1/k}} = \sqrt{\frac{4m_1/k}{m_1/k}} = \sqrt{\frac{4m_1}{m_1}} = \sqrt{4} = 2$.
Следовательно, период колебаний увеличится в 2 раза.

Ответ: Период колебаний увеличится в 2 раза.

Как нужно изменить массу грузика, чтобы период его колебаний при прочих равных условиях увеличился в 3 раза?

Дано:
$T_2 = 3T_1$.

Найти:
Отношение новой массы к начальной $\frac{m_2}{m_1}$.

Решение:
Используем формулу периода $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.
Запишем отношение периодов: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{m_2/k}}{2\pi\sqrt{m_1/k}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$.
По условию $\frac{T_2}{T_1} = 3$.
Следовательно, $\sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = 3$.
Возведём обе части уравнения в квадрат: $\frac{m_2}{m_1} = 3^2 = 9$.
Таким образом, массу грузика необходимо увеличить в 9 раз.

Ответ: Массу грузика нужно увеличить в 9 раз.

Как нужно изменить жёсткость пружины, чтобы период его колебаний при прочих равных условиях уменьшился в 2 раза?

Дано:
$T_2 = \frac{T_1}{2}$.

Найти:
Отношение новой жёсткости к начальной $\frac{k_2}{k_1}$.

Решение:
Используем формулу периода $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.
Запишем отношение периодов: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi\sqrt{m/k_2}}{2\pi\sqrt{m/k_1}} = \sqrt{\frac{m/k_2}{m/k_1}} = \sqrt{\frac{k_1}{k_2}}$.
По условию $\frac{T_2}{T_1} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $\sqrt{\frac{k_1}{k_2}} = \frac{1}{2}$.
Возведём обе части уравнения в квадрат: $\frac{k_1}{k_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
Отсюда $k_2 = 4k_1$.
Таким образом, жёсткость пружины необходимо увеличить в 4 раза.

Ответ: Жёсткость пружины нужно увеличить в 4 раза.