Номер 4, страница 55, часть 2 - гдз по физике 9 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 32. Преобразование энергии при механических колебаниях - номер 4, страница 55.

Условие.

4. Пружинный маятник состоит из лёгкой пружины жёсткостью $\text{k}$ и грузика массой $\text{m}$. В начальный момент времени грузик сместили из положения равновесия на расстояние $\text{A}$, а затем отпустили без начальной скорости. Маятник совершает свободные гармонические колебания. Заполните таблицу, ответив на вопросы.

Чему равен модуль максимальной скорости грузика?

$V_{max} = A \sqrt{\frac{k}{m}}$

Во сколько раз изменится модуль максимальной скорости грузика, если при прочих равных условиях жёсткость пружины увеличить в 4 раза?

Во сколько раз изменится модуль максимальной скорости грузика, если при прочих равных условиях массу грузика увеличить в 4 раза?

Как нужно изменить начальное смещение грузика, чтобы модуль максимальной скорости грузика при прочих равных условиях увеличился в 2 раза?

Как нужно изменить массу грузика, чтобы модуль максимальной скорости грузика при прочих равных условиях уменьшился в 3 раза?

Как нужно изменить жёсткость пружины, чтобы модуль максимальной скорости грузика при прочих равных условиях уменьшился в 2 раза?

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии для пружинного маятника. В общем виде он записывается так:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = const$

где $m$ – масса грузика, $v$ – его скорость, $k$ – жёсткость пружины, $x$ – смещение грузика от положения равновесия.

В начальный момент времени грузик смещен на расстояние $A$ (амплитуда колебаний) и его скорость равна нулю. Вся энергия маятника является потенциальной:

$E = \frac{kA^2}{2}$

Максимальная скорость $v_{max}$ достигается при прохождении положения равновесия ($x=0$), когда вся энергия маятника является кинетической:

$E = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Приравнивая эти два выражения для полной энергии, получаем:

$\frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{kA^2}{2}$

Отсюда можно выразить модуль максимальной скорости:

$v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$

Эта формула будет использована для ответа на все вопросы.

---

Чему равен модуль максимальной скорости грузика?

Решение:

Как показано выше, исходя из закона сохранения энергии, модуль максимальной скорости грузика определяется параметрами системы: амплитудой колебаний $A$, жёсткостью пружины $k$ и массой грузика $m$. Формула для максимальной скорости имеет вид:

$v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$

Ответ: Модуль максимальной скорости грузика равен $A\sqrt{\frac{k}{m}}$.

---

Во сколько раз изменится модуль максимальной скорости грузика, если при прочих равных условиях жёсткость пружины увеличить в 4 раза?

Решение:

Пусть начальная максимальная скорость $v_{max,1} = A\sqrt{\frac{k_1}{m}}$. По условию, жёсткость пружины увеличивают в 4 раза, то есть $k_2 = 4k_1$. Новая максимальная скорость $v_{max,2}$ будет равна:

$v_{max,2} = A\sqrt{\frac{k_2}{m}} = A\sqrt{\frac{4k_1}{m}} = 2 \cdot \left(A\sqrt{\frac{k_1}{m}}\right) = 2v_{max,1}$

Таким образом, максимальная скорость увеличится в 2 раза.

Ответ: Модуль максимальной скорости увеличится в 2 раза.

---

Во сколько раз изменится модуль максимальной скорости грузика, если при прочих равных условиях массу грузика увеличить в 4 раза?

Решение:

Пусть начальная максимальная скорость $v_{max,1} = A\sqrt{\frac{k}{m_1}}$. По условию, массу грузика увеличивают в 4 раза, то есть $m_2 = 4m_1$. Новая максимальная скорость $v_{max,2}$ будет равна:

$v_{max,2} = A\sqrt{\frac{k}{m_2}} = A\sqrt{\frac{k}{4m_1}} = \frac{1}{\sqrt{4}} \cdot \left(A\sqrt{\frac{k}{m_1}}\right) = \frac{1}{2}v_{max,1}$

Таким образом, максимальная скорость уменьшится в 2 раза.

Ответ: Модуль максимальной скорости уменьшится в 2 раза.

---

Как нужно изменить начальное смещение грузика, чтобы модуль максимальной скорости грузика при прочих равных условиях увеличился в 2 раза?

Решение:

Из формулы $v_{max} = A\sqrt{\frac{k}{m}}$ видно, что максимальная скорость прямо пропорциональна начальному смещению (амплитуде) $A$, так как $\sqrt{\frac{k}{m}}$ — константа при прочих равных условиях. Чтобы максимальная скорость увеличилась в 2 раза, необходимо увеличить амплитуду в 2 раза.

Пусть $v_{max,2} = 2v_{max,1}$.

$A_2\sqrt{\frac{k}{m}} = 2 \cdot A_1\sqrt{\frac{k}{m}}$

$A_2 = 2A_1$

Ответ: Начальное смещение грузика нужно увеличить в 2 раза.

---

Как нужно изменить массу грузика, чтобы модуль максимальной скорости грузика при прочих равных условиях уменьшился в 3 раза?

Решение:

Требуется, чтобы $v_{max,2} = \frac{1}{3}v_{max,1}$. Запишем это условие, используя формулу для максимальной скорости:

$A\sqrt{\frac{k}{m_2}} = \frac{1}{3} \cdot A\sqrt{\frac{k}{m_1}}$

Сокращая одинаковые множители, получаем:

$\sqrt{\frac{1}{m_2}} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{m_1}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{m_2}} = \frac{1}{3\sqrt{m_1}}$

$\sqrt{m_2} = 3\sqrt{m_1}$

Возводя обе части в квадрат, находим соотношение масс:

$m_2 = 9m_1$

Ответ: Массу грузика нужно увеличить в 9 раз.

---

Как нужно изменить жёсткость пружины, чтобы модуль максимальной скорости грузика при прочих равных условиях уменьшился в 2 раза?

Решение:

Требуется, чтобы $v_{max,2} = \frac{1}{2}v_{max,1}$. Запишем это условие, используя формулу для максимальной скорости:

$A\sqrt{\frac{k_2}{m}} = \frac{1}{2} \cdot A\sqrt{\frac{k_1}{m}}$

Сокращая одинаковые множители, получаем:

$\sqrt{k_2} = \frac{1}{2}\sqrt{k_1}$

Возводя обе части в квадрат, находим соотношение жёсткостей:

$k_2 = \frac{1}{4}k_1$

Ответ: Жёсткость пружины нужно уменьшить в 4 раза.