Номер 3, страница 202 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 31. Механические колебания. Упражнения - номер 3, страница 202.

Условие.

3. Существует версия, что человек меньше устает при ходьбе, если его конечности движутся с таким периодом, с каким они бы совершали свободные колебания. Оцените период свободных колебаний ваших ног. Оцените, с какой скоростью вы должны были бы двигаться, чтобы ваши ноги двигались с периодом, равным периоду их свободных колебаний. Сравните полученные значения для разных участников.

Решение.

Оцените период свободных колебаний ваших ног.

Для оценки периода свободных колебаний ноги, её можно смоделировать как физический маятник. Для упрощения будем считать ногу однородным стержнем длиной $\text{L}$, который колеблется относительно точки подвеса в тазобедренном суставе.

Период колебаний физического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$

где $\text{I}$ — момент инерции тела относительно оси вращения, $\text{m}$ — масса тела, $\text{g}$ — ускорение свободного падения, а $\text{d}$ — расстояние от оси вращения до центра масс тела.

Для однородного стержня, вращающегося вокруг одного из его концов, момент инерции $I = \frac{1}{3}mL^2$, а расстояние до центра масс $d = \frac{L}{2}$.

Подставив эти значения в формулу периода, получим выражение, не зависящее от массы ноги:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{1}{3}mL^2}{mg\frac{L}{2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$

Проведем расчет для человека, длина ног которого составляет примерно 90 см.

Дано:

Длина ноги, $L \approx 90$ см

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в СИ:

$L = 0.9$ м

Найти:

$\text{T}$ - ?

Решение:

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{2 \cdot 0.9 \text{ м}}{3 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{1.8}{29.4}} \approx 2\pi \sqrt{0.0612} \approx 6.28 \cdot 0.247 \approx 1.55$ с.

Ответ: Период свободных колебаний ноги человека с длиной ноги 90 см составляет примерно 1.6 с.

Оцените, с какой скоростью вы должны были бы двигаться, чтобы ваши ноги двигались с периодом, равным периоду их свободных колебаний.

При ходьбе один шаг (перенос одной ноги из крайнего заднего положения в крайнее переднее) соответствует половине полного колебания. Следовательно, время одного шага $t_{шага}$ равно половине периода $\text{T}$.

$t_{шага} = \frac{T}{2}$

Скорость движения $\text{v}$ можно найти как отношение длины шага $\text{S}$ ко времени, за которое этот шаг совершается.

$v = \frac{S}{t_{шага}} = \frac{S}{T/2} = \frac{2S}{T}$

Оценим длину шага для человека с длиной ноги 90 см. Разумной оценкой будет 70 см.

Дано:

Период колебаний (из предыдущего пункта), $T \approx 1.55$ с

Оценочная длина шага, $S \approx 70$ см

Перевод в СИ:

$S = 0.7$ м

Найти:

$\text{v}$ - ?

Решение:

Подставим значения в формулу для скорости:

$v = \frac{2 \cdot 0.7 \text{ м}}{1.55 \text{ с}} \approx 0.9$ м/с.

Для наглядности переведем скорость в более привычные единицы, км/ч:

$v = 0.9 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 3.6 \frac{\text{км/ч}}{\text{м/с}} \approx 3.24$ км/ч.

Ответ: Чтобы ноги двигались с периодом, равным периоду их свободных колебаний, человек должен идти со скоростью примерно 0.9 м/с или 3.2 км/ч, что соответствует скорости спокойной прогулки.

Сравните полученные значения для разных участников.

Проанализируем, как период колебаний и комфортная скорость ходьбы зависят от длины ног. Для этого проведем аналогичные расчеты для условных "высокого" и "невысокого" человека. Будем считать, что длина шага $\text{S}$ составляет примерно 0.8 от длины ноги $\text{L}$.

1. Высокий человек:

Пусть длина ноги $L_1 = 1.0$ м. Тогда оценочная длина шага $S_1 \approx 0.8 \cdot 1.0 = 0.8$ м.

Период колебаний: $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{2L_1}{3g}} = 2\pi \sqrt{\frac{2 \cdot 1.0}{3 \cdot 9.8}} \approx 1.64$ с.

Комфортная скорость: $v_1 = \frac{2S_1}{T_1} = \frac{2 \cdot 0.8 \text{ м}}{1.64 \text{ с}} \approx 0.98$ м/с (около 3.5 км/ч).

2. Человек невысокого роста:

Пусть длина ноги $L_2 = 0.8$ м. Тогда оценочная длина шага $S_2 \approx 0.8 \cdot 0.8 = 0.64$ м.

Период колебаний: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{2L_2}{3g}} = 2\pi \sqrt{\frac{2 \cdot 0.8}{3 \cdot 9.8}} \approx 1.46$ с.

Комфортная скорость: $v_2 = \frac{2S_2}{T_2} = \frac{2 \cdot 0.64 \text{ м}}{1.46 \text{ с}} \approx 0.88$ м/с (около 3.2 км/ч).

Вывод:

Из расчетов следует, что чем больше длина ног человека, тем больше период их свободных колебаний. Это, в свою очередь, приводит к тому, что комфортная скорость ходьбы у высоких людей выше, чем у людей невысокого роста. Данный вывод хорошо согласуется с повседневными наблюдениями.

Ответ: Участники с большей длиной ног имеют больший период свободных колебаний конечностей и, как следствие, более высокую "естественную" скорость ходьбы по сравнению с участниками с меньшей длиной ног.