Номер 3, страница 207 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 32. Преобразование энергии при механических колебаниях. Вопросы - номер 3, страница 207.

Условие.

3. Как связаны между собой амплитуда и модуль максимальной скорости грузика пружинного маятника при свободных гармонических колебаниях?

Решение.

Решение

Свободные гармонические колебания грузика пружинного маятника описываются уравнением, связывающим смещение грузика $\text{x}$ от положения равновесия со временем $\text{t}$. В общем виде это уравнение можно записать как:

$x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi_0)$

где $\text{A}$ – амплитуда колебаний (максимальное смещение от положения равновесия), $\omega$ – циклическая (угловая) частота колебаний, а $\phi_0$ – начальная фаза.

Скорость грузика $v(t)$ в любой момент времени является первой производной от смещения по времени:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A \cdot \cos(\omega t + \phi_0)) = -A\omega \cdot \sin(\omega t + \phi_0)$

Модуль скорости равен:

$|v(t)| = | -A\omega \cdot \sin(\omega t + \phi_0) | = A\omega |\sin(\omega t + \phi_0)|$

Максимальное значение модуля скорости, или $v_{max}$, достигается в те моменты времени, когда функция синуса принимает свое максимальное по модулю значение, равное 1, то есть $|\sin(\omega t + \phi_0)| = 1$. Это происходит, когда грузик проходит через положение равновесия ($x=0$).

Таким образом, формула для модуля максимальной скорости выглядит так:

$v_{max} = A\omega$

Эта формула и показывает связь между амплитудой и модулем максимальной скорости: они прямо пропорциональны друг другу. Коэффициентом пропорциональности является циклическая частота $\omega$, которая для пружинного маятника зависит от жесткости пружины $\text{k}$ и массы грузика $\text{m}$ по формуле $\omega = \sqrt{k/m}$.

Ответ: Модуль максимальной скорости грузика пружинного маятника $v_{max}$ при свободных гармонических колебаниях прямо пропорционален амплитуде колебаний $\text{A}$. Эта связь выражается формулой $v_{max} = A \cdot \omega$, где $\omega$ – циклическая частота колебаний, являющаяся постоянной величиной для данного маятника.