Номер 5, страница 208 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 32. Преобразование энергии при механических колебаниях. Упражнения - номер 5, страница 208.

Условие.

*5. В начальный момент времени грузик пружинного маятника сместили из положения равновесия на $x_0 = 3 \text{ см}$ и придали ему скорость, модуль которой $v_0 = 2 \text{ см/с}$. Масса грузика $m = 0,4 \text{ кг}$, а жёсткость пружины $k = 0,1 \text{ Н/м}$. Определите амплитуду колебаний грузика.

Решение.

Дано:

Начальное смещение $x_0 = 3$ см $= 0,03$ м
Начальная скорость $v_0 = 2$ см/с $= 0,02$ м/с
Масса грузика $m = 0,4$ кг
Жёсткость пружины $k = 0,1$ Н/м

Найти:

Амплитуду колебаний $\text{A}$.

Решение:

Для определения амплитуды колебаний воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия $\text{E}$ пружинного маятника в любой момент времени равна сумме его кинетической энергии ($E_k$) и потенциальной энергии упругой деформации пружины ($E_p$). В отсутствие сил трения эта энергия сохраняется.
$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = \text{const}$
Запишем выражение для полной энергии системы в начальный момент времени ($t=0$), используя заданные значения начального смещения $x_0$ и начальной скорости $v_0$:
$E_{начальная} = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{kx_0^2}{2}$
В точке максимального отклонения от положения равновесия, смещение равно амплитуде ($x=A$), а скорость грузика становится равной нулю ($v=0$). В этот момент вся энергия системы является потенциальной:
$E_{макс} = \frac{kA^2}{2}$
Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия системы равна энергии в момент максимального отклонения:
$E_{начальная} = E_{макс}$
$\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{kx_0^2}{2}$
Домножив обе части уравнения на 2, получим:
$kA^2 = mv_0^2 + kx_0^2$
Теперь выразим из этого уравнения искомую амплитуду $\text{A}$:
$A^2 = \frac{mv_0^2}{k} + x_0^2$
$A = \sqrt{x_0^2 + \frac{mv_0^2}{k}}$
Подставим числовые значения величин в систему СИ и произведем вычисления:
$A = \sqrt{(0,03 \text{ м})^2 + \frac{0,4 \text{ кг} \cdot (0,02 \text{ м/с})^2}{0,1 \text{ Н/м}}}$
$A = \sqrt{0,0009 \text{ м}^2 + \frac{0,4 \text{ кг} \cdot 0,0004 \text{ м}^2/\text{с}^2}{0,1 \text{ Н/м}}}$
$A = \sqrt{0,0009 \text{ м}^2 + \frac{0,00016 \text{ Дж}}{0,1 \text{ Н/м}}}$
$A = \sqrt{0,0009 \text{ м}^2 + 0,0016 \text{ м}^2}$
$A = \sqrt{0,0025 \text{ м}^2}$
$A = 0,05$ м.
При желании можно перевести результат в сантиметры: $0,05$ м $= 5$ см.

Ответ: амплитуда колебаний грузика равна $0,05$ м.