Номер 4, страница 208 - гдз по физике 9 класс учебник Грачев, Погожев

Глава 6. Механические колебания и волны. Параграф 32. Преобразование энергии при механических колебаниях. Упражнения - номер 4, страница 208.

Условие.

4. Определите модуль максимальной скорости грузика массой $m = 1 \text{ кг}$ пружинного маятника при свободных гармонических колебаниях. Жёсткость лёгкой пружины $k = 400 \text{ Н/м}$. Амплитуда колебаний грузика $x_{\text{max}} = 5 \text{ см}$.

Решение.

Дано:

Масса груза, $m = 1$ кг

Жёсткость пружины, $k = 400$ Н/м

Амплитуда колебаний, $x_{max} = 5$ см

Перевод в систему СИ:

Амплитуда колебаний, $x_{max} = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Модуль максимальной скорости груза, $v_{max}$

Решение:

При свободных гармонических колебаниях пружинного маятника выполняется закон сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия $\text{E}$ системы состоит из кинетической энергии груза $E_k = \frac{mv^2}{2}$ и потенциальной энергии упруго деформированной пружины $E_p = \frac{kx^2}{2}$.

В момент, когда груз достигает максимального отклонения от положения равновесия (амплитуды), его скорость становится равной нулю ($v=0$). В этой точке вся механическая энергия системы является потенциальной:

$E = E_{p_{max}} = \frac{k x_{max}^2}{2}$

В момент прохождения грузом положения равновесия ($x=0$), его скорость максимальна ($v=v_{max}$). В этой точке вся механическая энергия системы является кинетической:

$E = E_{k_{max}} = \frac{m v_{max}^2}{2}$

Так как полная механическая энергия сохраняется, максимальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной энергии:

$\frac{m v_{max}^2}{2} = \frac{k x_{max}^2}{2}$

Из этого равенства выразим модуль максимальной скорости $v_{max}$:

$m v_{max}^2 = k x_{max}^2$

$v_{max}^2 = \frac{k}{m} x_{max}^2$

$v_{max} = \sqrt{\frac{k}{m} x_{max}^2} = x_{max} \sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$v_{max} = 0.05 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{400 \text{ Н/м}}{1 \text{ кг}}} = 0.05 \cdot \sqrt{400} \text{ м/с} = 0.05 \cdot 20 \text{ м/с} = 1 \text{ м/с}$

Ответ: модуль максимальной скорости грузика равен 1 м/с.