Теоретическое исследование, страница 32 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 1. Методы изучения механического движения и взаимодействия тел. Параграф 4. Методы решения задач на применение законов сохранения в механике. Вопросы - страница 32.

Условие.

Теоретическое исследование

Тело массой $\text{m}$ под действием постоянной силы $\vec{F}$ приходит в равноускоренное прямолинейное движение с ускорением $\vec{a}$ из состояния покоя. За некоторое время $\text{t}$ оно совершает перемещение $\vec{s}$ и приобретает скорость $\vec{v}$. Используя формулу определения механической работы и законы Ньютона, покажите, что работа силы равна изменению кинетической энергии тела. Это утверждение называют теоремой о кинетической энергии.

Решение.

Дано:

Масса тела: $\text{m}$

Начальная скорость: $v_0 = 0$ (тело начинает движение из состояния покоя)

Действующая сила: $\vec{F} = \text{const}$

Ускорение: $\vec{a} = \text{const}$

Конечная скорость: $\text{v}$

Перемещение: $\text{s}$

Найти:

Доказать, что работа силы $\text{A}$ равна изменению кинетической энергии тела $\Delta E_k$.

Решение:

1. Запишем формулу для определения механической работы. Так как сила $\vec{F}$ постоянна и вызывает равноускоренное прямолинейное движение из состояния покоя, то направление силы совпадает с направлением перемещения $\vec{s}$. Следовательно, угол $\alpha$ между вектором силы и вектором перемещения равен нулю, и $\cos(\alpha) = \cos(0) = 1$.

$A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha) = F \cdot s$

2. Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на его ускорение:

$F = m \cdot a$

3. Подставим выражение для силы из второго закона Ньютона в формулу работы:

$A = (m \cdot a) \cdot s = m \cdot a \cdot s$

4. Для равноускоренного прямолинейного движения без начальной скорости ($v_0 = 0$) перемещение тела связано с его конечной скоростью и ускорением следующей формулой:

$s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a} = \frac{v^2}{2a}$

Из этой формулы можно выразить произведение $a \cdot s$:

$a \cdot s = \frac{v^2}{2}$

5. Подставим полученное выражение для $a \cdot s$ в формулу работы из пункта 3:

$A = m \cdot (a \cdot s) = m \cdot \frac{v^2}{2} = \frac{mv^2}{2}$

6. Теперь найдем изменение кинетической энергии тела. Кинетическая энергия $E_k$ определяется формулой $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Изменение кинетической энергии $\Delta E_k$ равно разности между конечной ($E_{k}$) и начальной ($E_{k0}$) кинетической энергией:

$\Delta E_k = E_{k} - E_{k0}$

Начальная кинетическая энергия тела, находящегося в состоянии покоя ($v_0 = 0$), равна нулю:

$E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2} = \frac{m \cdot 0^2}{2} = 0$

Конечная кинетическая энергия тела равна:

$E_{k} = \frac{mv^2}{2}$

Таким образом, изменение кинетической энергии равно:

$\Delta E_k = \frac{mv^2}{2} - 0 = \frac{mv^2}{2}$

7. Сравнивая полученное выражение для работы силы (пункт 5) и для изменения кинетической энергии (пункт 6), приходим к выводу, что они равны:

$A = \frac{mv^2}{2}$ и $\Delta E_k = \frac{mv^2}{2}$

Следовательно, $A = \Delta E_k$, что и требовалось доказать.

Ответ:

На основе формулы механической работы, второго закона Ньютона и кинематических уравнений для равноускоренного движения было показано, что работа, совершаемая постоянной силой над телом, равна изменению кинетической энергии этого тела: $A = \Delta E_k$.