Номер 5, страница 43 - гдз по физике 9 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 2. Механические колебания и волны. Параграф 5. Периодические движения. Равномерное движение по окружности. Задания и упражнения - номер 5, страница 43.

Условие.

5. Найдите модули скорости и центростремительного ускорения Луны, движущейся вокруг Земли, если среднее расстояние от Земли до Луны равно 384 000 км, а период обращения Луны равен 27,3 суток.

Решение.

Дано:

Среднее расстояние от Земли до Луны (радиус орбиты), $R = 384\ 000 \text{ км}$
Период обращения Луны, $T = 27,3 \text{ суток}$

$R = 384\ 000 \text{ км} = 384 \cdot 10^3 \text{ км} = 3,84 \cdot 10^8 \text{ м}$
$T = 27,3 \text{ суток} = 27,3 \cdot 24 \text{ часа} = 27,3 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 2\ 358\ 720 \text{ с}$

Найти:

$v - ?$ (модуль скорости)
$a_ц - ?$ (модуль центростремительного ускорения)

Решение:

Для решения задачи будем считать, что Луна движется по круговой орбите вокруг Земли с постоянной по модулю скоростью.

Модуль скорости

Модуль скорости (линейная скорость) тела при равномерном движении по окружности вычисляется как отношение длины окружности орбиты к периоду обращения:

$v = \frac{2\pi R}{T}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v = \frac{2 \cdot 3,1416 \cdot 3,84 \cdot 10^8 \text{ м}}{2\ 358\ 720 \text{ с}} \approx 1022,9 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Округлим результат до трех значащих цифр, так как исходные данные имеют такую же точность. Получаем $v \approx 1020 \frac{\text{м}}{\text{с}}$ или $1,02 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.

Ответ: модуль скорости Луны равен примерно $1020 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Модуль центростремительного ускорения

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности, можно найти по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Подставим найденное значение скорости (используя более точное значение до округления) и радиус орбиты:

$a_ц = \frac{(1022,9 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{3,84 \cdot 10^8 \text{ м}} \approx \frac{1\ 046\ 324 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}}{3,84 \cdot 10^8 \text{ м}} \approx 0,00272 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Для проверки и избежания накопления погрешности от округления скорости, можно использовать другую формулу, выраженную через период и радиус:

$a_ц = \omega^2 R = (\frac{2\pi}{T})^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Подставим исходные значения:

$a_ц = \frac{4 \cdot (3,1416)^2 \cdot 3,84 \cdot 10^8 \text{ м}}{(2\ 358\ 720 \text{ с})^2} \approx \frac{1,516 \cdot 10^{10} \text{ м}}{5,564 \cdot 10^{12} \text{ с}^2} \approx 0,00272 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: модуль центростремительного ускорения Луны равен примерно $0,00272 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.