Номер 10, страница 66 - гдз по физике 9 класс учебник Изергин

Глава II. Динамика. Проверим свои знания по теме главы II - номер 10, страница 66.

Условие.

10. Два тела, находящиеся на гладкой горизонтальной поверхности, соединены сжатой пружиной. Энергия пружины 3 Дж, массы тел 1 кг и 2 кг. Скорости тел после освобождения пружины

1) 2 м/с и 1 м/с

2) 4 м/с и 2 м/с

3) 2 м/с и 2 м/с

4) 3 м/с и 1,5 м/с

Решение.

Дано

Потенциальная энергия сжатой пружины: $E_п = 3$ Дж
Масса первого тела: $m_1 = 1$ кг
Масса второго тела: $m_2 = 2$ кг

Найти:

Скорости тел после освобождения пружины: $v_1$ и $v_2$.

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся двумя законами сохранения: законом сохранения импульса и законом сохранения энергии.

Система, состоящая из двух тел и пружины, является замкнутой в горизонтальном направлении, так как тела находятся на гладкой горизонтальной поверхности, и внешние горизонтальные силы отсутствуют. Следовательно, суммарный импульс системы в этом направлении сохраняется.

До взаимодействия, когда пружина сжата, тела покоятся, и их суммарный импульс равен нулю. После того как пружина распрямится и сообщит телам скорости $v_1$ и $v_2$, направленные в противоположные стороны, суммарный импульс системы также должен остаться равным нулю.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

$0 = m_1 v_1 - m_2 v_2$

Отсюда следует соотношение между модулями импульсов тел:

$m_1 v_1 = m_2 v_2$ (1)

Теперь применим закон сохранения энергии. Потенциальная энергия сжатой пружины $E_п$ полностью переходит в кинетическую энергию двух тел, так как трение отсутствует.

$E_п = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $v_1$ и $v_2$. Решим эту систему.

Из уравнения (1) выразим скорость второго тела $v_2$ через скорость первого тела $v_1$:

$v_2 = \frac{m_1 v_1}{m_2}$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$E_п = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2}{2} \left(\frac{m_1 v_1}{m_2}\right)^2$

$E_п = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 m_1^2 v_1^2}{2 m_2^2} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_1^2 v_1^2}{2 m_2}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$E_п = \frac{m_1 v_1^2}{2} \left(1 + \frac{m_1}{m_2}\right) = \frac{m_1 v_1^2}{2} \left(\frac{m_2 + m_1}{m_2}\right)$

Теперь выразим $v_1^2$:

$v_1^2 = \frac{2 E_п m_2}{m_1 (m_1 + m_2)}$

Подставим числовые значения:

$v_1^2 = \frac{2 \cdot 3 \cdot 2}{1 \cdot (1 + 2)} = \frac{12}{3} = 4$ (м/с)$^2$

Отсюда находим скорость первого тела:

$v_1 = \sqrt{4} = 2$ м/с

Теперь найдем скорость второго тела $v_2$, используя ранее полученное соотношение:

$v_2 = \frac{m_1 v_1}{m_2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$ м/с

Таким образом, скорости тел после освобождения пружины равны 2 м/с и 1 м/с.

Ответ: 1) 2 м/с и 1 м/с