Номер 2.1, страница 13 - гдз по физике 9 класс учебник Кабардин

Задача 2.1. Докажите, что при равномерном прямолинейном движении точки в плоскости $X0Y$ под углом $\alpha$ к координатной оси $0X$ (см. рис. 2.7) со скоростью $\vec{v}$ проекции вектора скорости на оси $0X$ и $0Y$ равны соответственно $v_x = v\cos\alpha$, $v_y = v\sin\alpha$.

Дано:

Равномерное прямолинейное движение точки в плоскости XOY.

Вектор скорости: $\vec{v}$

Модуль скорости: $v = |\vec{v}|$

Угол между вектором $\vec{v}$ и осью OX: $\alpha$

Найти:

Доказать, что $v_x = v \cos\alpha$ и $v_y = v \sin\alpha$.

Решение:

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат XOY. Вектор скорости $\vec{v}$ направлен под углом $\alpha$ к оси OX. Для нахождения проекций вектора на координатные оси, построим прямоугольный треугольник, где вектор $\vec{v}$ является гипотенузой.

Отложим вектор $\vec{v}$ от начала координат. Проведем перпендикуляры из конца вектора на оси OX и OY. Длины отрезков, отсекаемых этими перпендикулярами на осях от начала координат, и будут являться модулями проекций вектора скорости. Обозначим проекцию на ось OX как $v_x$ и на ось OY как $v_y$.

Полученный треугольник является прямоугольным. В этом треугольнике:

• Гипотенуза равна модулю вектора скорости $\text{v}$.
• Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен проекции $v_x$.
• Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен проекции $v_y$.

По определению тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

Косинус угла равен отношению длины прилежащего катета к длине гипотенузы:

$\cos\alpha = \frac{v_x}{v}$

Выражая отсюда проекцию на ось OX, получаем:

$v_x = v \cos\alpha$

Синус угла равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы:

$\sin\alpha = \frac{v_y}{v}$

Выражая отсюда проекцию на ось OY, получаем:

$v_y = v \sin\alpha$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Проекции вектора скорости на оси OX и OY определяются по формулам $v_x = v \cos\alpha$ и $v_y = v \sin\alpha$, что и требовалось доказать.