Номер 1, страница 35 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тесты для самоконтроля. ТС-5. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 1 - номер 1, страница 35.

Условие.

1. Как и во сколько раз нужно изменить расстояние между телами, чтобы сила тяготения уменьшилась в 2 раза?

А. Увеличить в $\sqrt{2}$ раз.

Б. Уменьшить в $\sqrt{2}$ раз.

В. Увеличить в 2 раза.

Решение.

Дано:

$F_1$ - начальная сила тяготения.

$F_2$ - конечная сила тяготения.

$r_1$ - начальное расстояние между телами.

$r_2$ - конечное расстояние между телами.

Уменьшение силы в 2 раза: $ \frac{F_1}{F_2} = 2 $

Найти:

Отношение расстояний $ \frac{r_2}{r_1} $.

Решение:

Сила всемирного тяготения описывается законом Ньютона:

$ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} $

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ — массы тел, а $\text{r}$ — расстояние между ними.

Запишем эту формулу для начального и конечного состояний:

Начальная сила: $ F_1 = G \frac{m_1 m_2}{r_1^2} $

Конечная сила: $ F_2 = G \frac{m_1 m_2}{r_2^2} $

Из формулы видно, что сила тяготения $\text{F}$ обратно пропорциональна квадрату расстояния $r^2$.

Найдем отношение начальной силы к конечной, разделив первое уравнение на второе:

$ \frac{F_1}{F_2} = \frac{G \frac{m_1 m_2}{r_1^2}}{G \frac{m_1 m_2}{r_2^2}} $

После сокращения одинаковых величин ($G, m_1, m_2$) получим:

$ \frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 $

По условию задачи, сила уменьшилась в 2 раза, то есть $ \frac{F_1}{F_2} = 2 $. Подставим это значение в наше уравнение:

$ 2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 $

Чтобы найти отношение расстояний $ \frac{r_2}{r_1} $, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$ \frac{r_2}{r_1} = \sqrt{2} $

Таким образом, конечное расстояние $r_2$ должно быть в $ \sqrt{2} $ раз больше начального $r_1$. Это означает, что расстояние необходимо увеличить.

Ответ: Чтобы сила тяготения уменьшилась в 2 раза, расстояние между телами нужно увеличить в $ \sqrt{2} $ раз. Это соответствует варианту А.