Номер 3, страница 36 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тесты для самоконтроля. ТС-5. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 1 - номер 3, страница 36.

Условие.

3. На каком расстоянии от Земли сила всемирного тяготения, действующая на тело, будет в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км.

А. 6400 км.

Б. 4480 км.

В. 12 000 км.

Решение.

Дано:

$\frac{F_1}{F_2} = 3$
$R_З = 6400 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

$\text{h}$ - расстояние от поверхности Земли.

Решение:

Закон всемирного тяготения гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами:

$F = G \frac{M m}{r^2}$

где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $\text{M}$ – масса Земли, $\text{m}$ – масса тела, $\text{r}$ – расстояние от центра Земли до тела.

Сила тяготения, действующая на тело на поверхности Земли ($F_1$), определяется расстоянием, равным радиусу Земли $R_З$:

$F_1 = G \frac{M m}{R_З^2}$

Сила тяготения ($F_2$) на искомом расстоянии от Земли будет действовать на расстоянии $r = R_З + h$ от центра Земли, где $\text{h}$ – высота над поверхностью.

$F_2 = G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

Согласно условию задачи, сила $F_2$ в 3 раза меньше силы $F_1$:

$F_1 = 3 F_2$

Подставим выражения для сил в это соотношение:

$G \frac{M m}{R_З^2} = 3 \cdot G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

Сократим одинаковые множители ($\text{G}$, $\text{M}$, $\text{m}$) в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{R_З^2} = \frac{3}{(R_З + h)^2}$

Отсюда следует:

$(R_З + h)^2 = 3 R_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$R_З + h = \sqrt{3} R_З$

Выразим высоту $\text{h}$:

$h = \sqrt{3} R_З - R_З = (\sqrt{3} - 1)R_З$

Подставим числовое значение радиуса Земли $R_З = 6400 \text{ км}$ и значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$h \approx (1.732 - 1) \cdot 6400 \text{ км} = 0.732 \cdot 6400 \text{ км} \approx 4685 \text{ км}$

Полученное значение наиболее близко к варианту ответа Б (4480 км). Проверим, во сколько раз сила на высоте 4480 км будет меньше силы на поверхности.

При $h = 4480 \text{ км}$ расстояние до центра Земли $r = R_З + h = 6400 \text{ км} + 4480 \text{ км} = 10880 \text{ км}$.

Отношение сил равно обратному отношению квадратов расстояний:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{r^2}{R_З^2} = \left(\frac{R_З+h}{R_З}\right)^2 = \left(\frac{10880 \text{ км}}{6400 \text{ км}}\right)^2 = (1.7)^2 = 2.89$

Значение 2.89 очень близко к 3. Расхождение, вероятно, связано с округлением в вариантах ответов.

Ответ: Б. 4480 км.