Номер 4, страница 36 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тесты для самоконтроля. ТС-5. Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Вариант 1 - номер 4, страница 36.

Условие.

4. Вычислите ускорение свободного падения на высоте, равной двум земным радиусам.

A. 2,5 $\text{м/с}^2$.

Б. 5 $\text{м/с}^2$.

В. 4,4 $\text{м/с}^2$.

Решение.

Дано:

Высота над поверхностью Земли: $h = 2R_З$, где $R_З$ — радиус Земли.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли (стандартное значение): $g_0 \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$: $g_h$.

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра планеты массой $\text{M}$ определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$, и ускорение свободного падения равно $g_0$:

$g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$

На высоте $\text{h}$ над поверхностью расстояние от центра Земли составляет $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте $g_h$ будет:

$g_h = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$

Найдем отношение $g_h$ к $g_0$:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}}{G \frac{M_З}{R_З^2}} = \frac{R_З^2}{(R_З + h)^2}$

Отсюда можно выразить $g_h$:

$g_h = g_0 \left( \frac{R_З}{R_З + h} \right)^2$

Согласно условию задачи, высота $h = 2R_З$. Подставим это значение в формулу:

$g_h = g_0 \left( \frac{R_З}{R_З + 2R_З} \right)^2 = g_0 \left( \frac{R_З}{3R_З} \right)^2 = g_0 \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{g_0}{9}$

Теперь вычислим числовое значение, используя $g_0 \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$:

$g_h = \frac{9,8 \, \text{м/с}^2}{9} \approx 1,09 \, \text{м/с}^2$

Полученный результат не совпадает ни с одним из предложенных вариантов ответа (А. 2,5 м/с², Б. 5 м/с², В. 4,4 м/с²). Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка, и имелась в виду высота, равная **одному** радиусу Земли ($h = R_З$).

Рассмотрим этот случай. Если $h = R_З$, то:

$g_h = g_0 \left( \frac{R_З}{R_З + R_З} \right)^2 = g_0 \left( \frac{R_З}{2R_З} \right)^2 = g_0 \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{g_0}{4}$

В школьных задачах для упрощения расчетов часто принимают $g_0 \approx 10 \, \text{м/с}^2$. Подставив это значение, получаем:

$g_h = \frac{10 \, \text{м/с}^2}{4} = 2,5 \, \text{м/с}^2$

Этот результат точно совпадает с вариантом ответа А. Если использовать $g_0 \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$, результат будет $g_h = 9,8 / 4 = 2,45 \, \text{м/с}^2$, что также наиболее близко к варианту А.

Таким образом, наиболее вероятным является то, что в условии задачи имеется опечатка, и правильным ответом является вариант А.

Ответ: А. 2,5 м/с².