Номер 10, страница 20 - гдз по физике 9 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тренировочные задания. ТЗ-9. Работа силы. Потенциальная и кинетическая энергия. Закон сохранения механической энергии - номер 10, страница 20.

Условие.

10. С высоты 2 м вертикально вниз бросают мяч со скоростью 4 м/с. Чему равна максимальная высота подъёма мяча над горизонтальной поверхностью, если удар мяча о поверхность считать абсолютно упругим? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение.

Дано

Начальная высота: $h_0 = 2$ м

Начальная скорость: $v_0 = 4$ м/с

Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Максимальная высота подъема: $h_{max}$ — ?

Решение

Данную задачу можно решить, используя закон сохранения полной механической энергии. Согласно условию, сопротивлением воздуха можно пренебречь, а удар мяча о поверхность является абсолютно упругим. Это означает, что полная механическая энергия системы "мяч-Земля" сохраняется на протяжении всего движения.

Полная механическая энергия $\text{E}$ тела является суммой его кинетической ($E_k$) и потенциальной ($E_p$) энергий:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + mgh$

где $\text{m}$ — масса мяча, $\text{v}$ — его скорость, а $\text{h}$ — высота над поверхностью (нулевым уровнем потенциальной энергии).

В начальный момент времени, когда мяч бросают с высоты $h_0$ со скоростью $v_0$, его полная механическая энергия составляет:

$E_0 = \frac{mv_0^2}{2} + mgh_0$

После отскока от поверхности мяч поднимется на максимальную высоту $h_{max}$. В верхней точке траектории его скорость на мгновение станет равной нулю ($v_{max} = 0$). Следовательно, вся механическая энергия перейдет в потенциальную:

$E_{max} = \frac{m \cdot 0^2}{2} + mgh_{max} = mgh_{max}$

Поскольку потерь энергии нет (удар абсолютно упругий), полная механическая энергия в начальный момент времени равна полной механической энергии в точке максимального подъема:

$E_0 = E_{max}$

Приравняем выражения для энергии:

$\frac{mv_0^2}{2} + mgh_0 = mgh_{max}$

Масса мяча $\text{m}$ присутствует в каждом члене уравнения, поэтому ее можно сократить:

$\frac{v_0^2}{2} + gh_0 = gh_{max}$

Теперь выразим искомую высоту $h_{max}$:

$h_{max} = h_0 + \frac{v_0^2}{2g}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$h_{max} = 2 \, \text{м} + \frac{(4 \, \text{м/с})^2}{2 \cdot 10 \, \text{м/с}^2} = 2 \, \text{м} + \frac{16 \, \text{м}^2/\text{с}^2}{20 \, \text{м/с}^2} = 2 \, \text{м} + 0.8 \, \text{м} = 2.8 \, \text{м}$

Ответ: максимальная высота подъема мяча над горизонтальной поверхностью равна 2,8 м.