Номер 8, страница 132 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

8. Заменив пружину в опыте по изучению колебаний пружинного маятника, мальчик получил период колебаний в 2 раза меньше. Что можно сказать о жёсткости второй пружины по сравнению с первой?

Дано:

$T_1$ - период колебаний с первой пружиной

$k_1$ - жёсткость первой пружины

$T_2$ - период колебаний со второй пружиной

$k_2$ - жёсткость второй пружины

$m$ - масса груза (неизменна)

Соотношение периодов: $T_1 = 2 \cdot T_2$

Найти:

Соотношение жёсткостей $\frac{k_2}{k_1}$

Решение:

Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $T$ - период колебаний, $m$ - масса тела, подвешенного на пружине, а $k$ - жёсткость пружины.

В данном опыте меняется только пружина, следовательно, масса груза $m$ остается постоянной. Запишем формулу периода для первого и второго случая.

Для первой пружины: $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}$

Для второй пружины: $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}}$

Из условия задачи известно, что период колебаний со второй пружиной в 2 раза меньше, чем с первой, то есть $T_2 = \frac{T_1}{2}$.

Подставим выражения для $T_1$ и $T_2$ в это соотношение:

$2\pi\sqrt{\frac{m}{k_2}} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1}}}{2}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $2\pi$:

$\sqrt{\frac{m}{k_2}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{k_1}}$

Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\left(\sqrt{\frac{m}{k_2}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{k_1}}\right)^2$

$\frac{m}{k_2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{m}{k_1}$

Поскольку масса груза $m$ одинакова и не равна нулю, мы можем сократить её:

$\frac{1}{k_2} = \frac{1}{4k_1}$

Из этого равенства выразим $k_2$:

$k_2 = 4k_1$

Это означает, что жёсткость второй пружины в 4 раза больше жёсткости первой.

Ответ: Жёсткость второй пружины в 4 раза больше жёсткости первой.