Номер 5, страница 132 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

5. При каких условиях реальный нитяной маятник будет совершать колебания, близкие к гармоническим?

5. При каких условиях реальный нитяной маятник будет совершать колебания, близкие к гармоническим?

Гармоническими называются колебания, при которых возвращающая сила прямо пропорциональна смещению тела от положения равновесия и направлена к нему. Для нитяного маятника возвращающей силой является проекция силы тяжести на касательную к траектории движения: $F_{\tau} = -mg \sin\alpha$, где $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали. Уравнение движения маятника имеет вид:

$ml \frac{d^2\alpha}{dt^2} = -mg \sin\alpha$

Это уравнение не описывает гармонические колебания из-за наличия функции $\sin\alpha$. Однако, если колебания маятника удовлетворяют определенным условиям, их можно считать близкими к гармоническим. Эти условия являются допущениями, которые лежат в основе модели «математического маятника».

Основные условия:

1. Малая амплитуда колебаний. Это ключевое условие. Если угол отклонения $\alpha$ мал (обычно не более 5–7 градусов), то можно использовать приближенное равенство $\sin\alpha \approx \alpha$ (где угол $\alpha$ выражен в радианах). В этом случае уравнение движения принимает вид:

$\frac{d^2\alpha}{dt^2} + \frac{g}{l}\alpha = 0$

Это линейное дифференциальное уравнение, которое как раз и описывает гармонические колебания с циклической частотой $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$. При малых углах возвращающая сила $F_{\tau} \approx -mg\alpha$ становится пропорциональной смещению $x=l\alpha$.

2. Пренебрежимо малое трение и сопротивление среды. В реальных условиях на маятник действуют сила сопротивления воздуха и сила трения в точке подвеса. Эти силы приводят к затуханию колебаний, то есть к постепенному уменьшению их амплитуды. Чтобы колебания были близки к гармоническим (незатухающим), силы сопротивления должны быть настолько малы, чтобы их влиянием можно было пренебречь в течение рассматриваемого времени. Этого можно добиться, используя достаточно тяжелый и обтекаемый груз.

3. Нить должна быть нерастяжимой и невесомой. Длина нити $l$ должна оставаться постоянной в процессе колебаний, то есть нить не должна растягиваться. Кроме того, масса нити должна быть пренебрежимо малой по сравнению с массой груза, чтобы центр масс системы практически совпадал с центром масс груза.

4. Размеры груза должны быть малы по сравнению с длиной нити. Это позволяет считать груз материальной точкой, то есть пренебречь его размерами и формой, и считать, что вся масса сосредоточена в одной точке. Если это условие не выполняется, систему следует рассматривать как физический маятник.

Ответ: Реальный нитяной маятник совершает колебания, близкие к гармоническим, при выполнении следующих условий: 1) амплитуда колебаний должна быть малой (угол отклонения не более 5–7°); 2) силы трения и сопротивления воздуха должны быть пренебрежимо малы; 3) нить подвеса должна быть практически нерастяжимой и невесомой; 4) размеры колеблющегося тела (груза) должны быть значительно меньше длины нити.