Номер 7, страница 70 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Упражнение 14. § 14. Свободное падение тел. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 7, страница 70.

7. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх. Докажите, что время полёта тела до момента падения на землю вдвое больше времени его подъёма на максимальную высоту.

Дано:

Тело брошено с поверхности земли ($y_0 = 0$) вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$.

Движение происходит под действием силы тяжести с ускорением свободного падения $g$.

Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Найти:

Доказать, что полное время полета ($t_{полёта}$) вдвое больше времени подъёма на максимальную высоту ($t_{подъёма}$), то есть $t_{полёта} = 2 \cdot t_{подъёма}$.

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось $Oy$ вертикально вверх, а начало отсчета ($y=0$) поместим на поверхность земли. В этой системе отсчета ускорение свободного падения $g$ направлено противоположно оси $Oy$, поэтому его проекция на эту ось равна $-g$.

Запишем кинематические уравнения движения тела:

Уравнение зависимости скорости от времени:

$v(t) = v_0 - gt$

Уравнение зависимости координаты (высоты) от времени:

$y(t) = y_0 + v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Сначала найдем время подъёма тела на максимальную высоту, $t_{подъёма}$. В верхней точке траектории (на максимальной высоте) мгновенная скорость тела становится равной нулю. Подставим $v(t) = 0$ в уравнение скорости:

$0 = v_0 - g t_{подъёма}$

Из этого уравнения выразим время подъёма:

$t_{подъёма} = \frac{v_0}{g}$

Теперь найдем полное время полета, $t_{полёта}$. Полет заканчивается, когда тело возвращается на землю, то есть его координата снова становится равной нулю ($y(t) = 0$). Подставим это условие в уравнение координаты:

$0 = v_0 t_{полёта} - \frac{g t_{полёта}^2}{2}$

Для решения этого квадратного уравнения относительно $t_{полёта}$ вынесем общий множитель за скобки:

$t_{полёта} \left( v_0 - \frac{g t_{полёта}}{2} \right) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

1. $t_1 = 0$. Этот корень соответствует начальному моменту времени, когда тело находилось на земле перед броском.

2. $v_0 - \frac{g t_{полёта}}{2} = 0$. Этот корень соответствует моменту времени, когда тело упало на землю.

Из второго уравнения выразим $t_{полёта}$:

$\frac{g t_{полёта}}{2} = v_0$

$t_{полёта} = \frac{2v_0}{g}$

Теперь сравним полученные выражения для $t_{полёта}$ и $t_{подъёма}$:

$t_{подъёма} = \frac{v_0}{g}$

$t_{полёта} = \frac{2v_0}{g} = 2 \cdot \left(\frac{v_0}{g}\right)$

Следовательно, $t_{полёта} = 2 \cdot t_{подъёма}$. Это доказывает, что время полета тела до падения на землю вдвое больше времени его подъёма на максимальную высоту. Это утверждение является следствием симметрии движения: время подъема равно времени падения с максимальной высоты (при условии отсутствия сопротивления воздуха).

Ответ: Утверждение доказано. Время полета $t_{полёта} = \frac{2v_0}{g}$ ровно в два раза больше времени подъема $t_{подъёма} = \frac{v_0}{g}$.