Номер 5, страница 131 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Ответь на вопросы. § 26. Работа силы. Мощность. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 5, страница 131.

5. Чему равна работа силы упругости при растяжении пружины на величину Δх = х₂ - х₁?

Чему равна работа силы упругости при растяжении пружины на величину Δx = x₂ - x₁?

Решение:

Работа силы упругости при изменении деформации пружины от начального значения $x_1$ до конечного значения $x_2$ (где $x_1$ и $x_2$ - это удлинения или сжатия пружины относительно положения равновесия) не зависит напрямую от величины растяжения $\Delta x = x_2 - x_1$, а определяется начальным и конечным состояниями пружины.

Сила упругости является переменной силой, и её работа вычисляется через интегрирование. Согласно закону Гука, проекция силы упругости на ось $x$, направленную вдоль оси пружины, равна $F_{упр,x} = -kx$, где $k$ – жёсткость пружины, а $x$ – её деформация (удлинение).

Работа силы упругости при перемещении конца пружины из точки с координатой $x_1$ в точку с координатой $x_2$ равна:

$A_{упр} = \int_{x_1}^{x_2} F_{упр,x} dx = \int_{x_1}^{x_2} (-kx) dx = -k \int_{x_1}^{x_2} x dx = -k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x_1}^{x_2}$

$A_{упр} = -k \left( \frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2} \right) = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Этот же результат можно получить, используя понятие потенциальной энергии. Работа консервативной силы (каковой является сила упругости) равна изменению потенциальной энергии системы, взятому с противоположным знаком. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины равна $E_p = \frac{kx^2}{2}$.

$A_{упр} = -(E_{p2} - E_{p1}) = E_{p1} - E_{p2} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Таким образом, работа силы упругости равна разности начальной и конечной потенциальных энергий пружины.

Ответ: Работа силы упругости при изменении деформации пружины от $x_1$ до $x_2$ вычисляется по формуле: $A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$.

Покажите на конкретных примерах.

Пример 1: Растяжение пружины из состояния покоя.

Пусть пружина с жёсткостью $k = 200$ Н/м растягивается из недеформированного состояния на $5$ см.

Дано:

$k = 200$ Н/м

$x_1 = 0$ м (начальное состояние - недеформирована)

$x_2 = 5$ см

Перевод в СИ:

$x_2 = 0.05$ м

Найти:

$A_{упр}$ - работа силы упругости.

Решение:

Воспользуемся формулой для работы силы упругости:

$A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$A_{упр} = \frac{200 \cdot 0^2}{2} - \frac{200 \cdot (0.05)^2}{2} = 0 - 100 \cdot 0.0025 = -0.25$ Дж.

Работа отрицательна, так как сила упругости направлена против вектора перемещения (против растяжения).

Ответ: работа силы упругости равна $-0.25$ Дж.

Пример 2: Дополнительное растяжение уже растянутой пружины.

Пусть та же пружина ($k = 200$ Н/м), уже растянутая на $5$ см, растягивается ещё на $5$ см (т.е. до общего растяжения в $10$ см).

Дано:

$k = 200$ Н/м

$x_1 = 5$ см

$x_2 = 10$ см

Перевод в СИ:

$x_1 = 0.05$ м

$x_2 = 0.1$ м

Найти:

$A_{упр}$ - работа силы упругости.

Решение:

Используем ту же формулу:

$A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Подставим значения:

$A_{упр} = \frac{200 \cdot (0.05)^2}{2} - \frac{200 \cdot (0.1)^2}{2} = 100 \cdot 0.0025 - 100 \cdot 0.01 = 0.25 - 1.0 = -0.75$ Дж.

Заметим, что хотя пружину растянули на ту же величину ($\Delta x = 5$ см), работа оказалась в 3 раза больше по модулю, чем в первом примере. Это связано с тем, что средняя сила упругости на этом участке была больше.

Ответ: работа силы упругости равна $-0.75$ Дж.

Пример 3: Сжатие растянутой пружины.

Пусть пружина ($k = 200$ Н/м), растянутая на $10$ см, возвращается в состояние, где она растянута на $5$ см.

Дано:

$k = 200$ Н/м

$x_1 = 10$ см

$x_2 = 5$ см

Перевод в СИ:

$x_1 = 0.1$ м

$x_2 = 0.05$ м

Найти:

$A_{упр}$ - работа силы упругости.

Решение:

$A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

$A_{упр} = \frac{200 \cdot (0.1)^2}{2} - \frac{200 \cdot (0.05)^2}{2} = 100 \cdot 0.01 - 100 \cdot 0.0025 = 1.0 - 0.25 = 0.75$ Дж.

В этом случае работа положительна, так как направление силы упругости совпадает с направлением перемещения конца пружины (пружина сжимается).

Ответ: работа силы упругости равна $0.75$ Дж.