Страница 131 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

1. Что называют работой силы?

В физике работой силы (также называют механической работой) является скалярная физическая величина, которая служит количественной мерой действия силы на тело, приводящего к его перемещению. Работа характеризует процесс преобразования энергии из одной формы в другую, когда на тело действует сила.

Когда на тело действует постоянная сила $\vec{F}$ и оно совершает прямолинейное перемещение $\vec{s}$, работа $A$ этой силы определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения:

$A = \vec{F} \cdot \vec{s}$

В скалярной форме эта формула выражается через модули векторов и косинус угла $\alpha$ между ними:

$A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$

Здесь $F$ — это модуль силы, $s$ — модуль перемещения точки приложения силы, а $\alpha$ — угол между направлениями векторов силы и перемещения.

Знак работы зависит от угла $\alpha$:

- Положительная работа ($A > 0$): совершается, когда сила (или её проекция) сонаправлена с перемещением ($0^\circ \le \alpha < 90^\circ$). Сила способствует движению. Пример: работа силы тяги.

- Работа равна нулю ($A = 0$): совершается, когда сила перпендикулярна перемещению ($\alpha = 90^\circ$). Сила не влияет на скорость движения в данном направлении. Пример: работа силы тяжести при движении тела по горизонтали.

- Отрицательная работа ($A < 0$): совершается, когда сила (или её проекция) направлена противоположно перемещению ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$). Сила препятствует движению. Пример: работа силы трения.

В Международной системе единиц (СИ) работа измеряется в джоулях (Дж). Один джоуль равен работе, которую совершает сила в один ньютон при перемещении тела на один метр в направлении действия силы ($1 \text{ Дж} = 1 \text{ Н} \cdot 1 \text{ м}$).

Ответ: Работой силы называют физическую скалярную величину, равную произведению модуля силы на модуль перемещения точки приложения силы и на косинус угла между векторами силы и перемещения.

2. В каких случаях работа силы положительна; отрицательна; равна нулю? Приведите примеры.

Работой силы называют скалярную физическую величину, являющуюся количественной мерой действия силы на тело, которое приводит к его перемещению. Если сила $\vec{F}$ постоянна, а тело совершает прямолинейное перемещение $\vec{s}$, то работа этой силы определяется как произведение модулей векторов силы и перемещения, умноженное на косинус угла $\alpha$ между ними.

Ответ: Работа силы – это скалярная физическая величина, характеризующая процесс перемещения тела под действием силы. Для постоянной силы она вычисляется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения: $A = \vec{F} \cdot \vec{s}$.

2. Знак работы силы зависит от угла между направлением действия силы и направлением перемещения тела.

• Работа положительна ($A > 0$), когда угол $\alpha$ между вектором силы и вектором перемещения острый ($0 \le \alpha < 90^\circ$). В этом случае проекция силы на направление перемещения положительна, и сила совершает работу, способствуя движению.

  Пример: Работа силы тяжести при падении яблока с дерева. Сила тяжести направлена вниз, и яблоко движется вниз.

• Работа отрицательна ($A < 0$), когда угол $\alpha$ между вектором силы и вектором перемещения тупой ($90^\circ < \alpha \le 180^\circ$). В этом случае проекция силы на направление перемещения отрицательна, и сила совершает работу, препятствуя движению.

  Пример: Работа силы трения скольжения при движении саней по горизонтальной поверхности. Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную движению.

• Работа равна нулю ($A = 0$) в трех основных случаях:

  1. Сила перпендикулярна перемещению ($\alpha = 90^\circ$, $\cos 90^\circ = 0$).

  Пример: Работа силы тяжести, действующей на чемодан, который человек несет, двигаясь горизонтально.

  2. Перемещение тела равно нулю ($s = 0$).

  Пример: Работа, совершаемая атлетом, который удерживает штангу над головой в неподвижном состоянии.

  3. Действующая на тело сила равна нулю ($F = 0$).

  Пример: Работа любой силы, действующей на космический корабль, движущийся по инерции вдали от небесных тел.

Ответ: Работа силы положительна, когда направление силы совпадает (или составляет острый угол) с направлением перемещения; отрицательна, когда сила направлена противоположно (или составляет тупой угол) перемещению; равна нулю, когда сила перпендикулярна перемещению, или когда перемещение или сила равны нулю.

3. Работа $A$ постоянной силы $\vec{F}$ при прямолинейном перемещении тела на расстояние $\vec{s}$ вычисляется по формуле:

$A = F \cdot s \cdot \cos \alpha$

где $F$ — это модуль силы, $s$ — модуль перемещения, а $\alpha$ — угол между направлением действия силы и направлением перемещения.

Единицей измерения работы в Международной системе единиц (СИ) является джоуль (Дж). 1 джоуль — это работа, которую совершает сила в 1 ньютон (Н) при перемещении точки приложения силы на 1 метр (м) в направлении действия силы.

$1 \text{ Дж} = 1 \text{ Н} \cdot 1 \text{ м}$

Ответ: Работа силы вычисляется по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos \alpha$ и измеряется в джоулях (Дж).

3. Как определить работу изменяющейся силы?

Как определить работу изменяющейся силы?

Работу переменной силы, то есть силы, которая меняется в процессе движения тела, можно определить двумя основными способами: графическим и аналитическим (с помощью интегрирования).

Графический способ

Если построить график зависимости проекции силы на направление перемещения $F_s$ от модуля перемещения $s$, то работа, совершаемая силой при перемещении тела из начального положения в конечное, будет численно равна площади фигуры, ограниченной этим графиком, осью перемещений и перпендикулярами к этой оси, проведенными из начальной и конечной точек.

Например, для движения вдоль оси $Ox$, работа на участке от $x_1$ до $x_2$ равна площади под графиком $F_x(x)$. Если на части участка сила направлена против движения ($F_x < 0$), то площадь соответствующей части фигуры также считается отрицательной.

Аналитический способ (интегрирование)

Этот способ является математическим выражением графического метода. Работа переменной силы вычисляется как определенный интеграл от проекции силы на направление перемещения по перемещению. Для движения вдоль оси $x$ от точки $x_1$ до точки $x_2$ формула выглядит так:

$A = \int_{x_1}^{x_2} F_x(x) \, dx$

где $F_x(x)$ — это функция, описывающая зависимость проекции силы от координаты $x$.

Примером такой силы является сила упругости пружины, которая изменяется по закону Гука ($F_{упр} = -kx$). Работа, совершаемая силой упругости при изменении деформации пружины от $x_1$ до $x_2$, равна $A = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$.

Ответ: Работу изменяющейся силы можно определить либо графически (как площадь под графиком зависимости проекции силы от перемещения), либо аналитически (путем вычисления интеграла силы по перемещению).

4. Чему равна работа силы

Текст вопроса в изображении обрывается. Наиболее вероятным продолжением является вопрос: «Чему равна работа равнодействующей силы?». В этом случае ответ формулируется на основе теоремы о кинетической энергии.

Теорема о кинетической энергии гласит, что работа равнодействующей всех сил, приложенных к телу (или полная работа всех сил), равна изменению кинетической энергии этого тела.

В виде формулы это записывается так:

$A_{полн} = \Delta E_k$

где $A_{полн}$ — полная работа, а $\Delta E_k$ — изменение кинетической энергии.

Кинетическая энергия тела массой $m$, движущегося со скоростью $v$, вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Тогда изменение кинетической энергии при изменении скорости тела с начальной $v_1$ до конечной $v_2$ составляет:

$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}$

Таким образом, работа равнодействующей силы равна:

$A_{полн} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}$

Если же речь шла о работе консервативной силы (такой как сила тяжести или сила упругости), то ее работа равна изменению потенциальной энергии системы, взятому с противоположным знаком:

$A_{конс} = -\Delta E_p = E_{p1} - E_{p2}$

Ответ: Работа равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии ($A_{полн} = \Delta E_k$).

4. Чему равна работа силы тяжести?

3. Как определить работу изменяющейся силы?

Если сила, действующая на тело, изменяется в процессе его движения, то для нахождения работы нельзя использовать простую формулу $A = Fs \cos\alpha$, так как значение силы $F$ не является постоянным. В этом случае применяют два основных метода: графический и с помощью интегрирования.

1. Графический метод. Этот метод удобен, когда известен график зависимости проекции силы на направление перемещения $F_s$ от координаты $s$. Работу можно найти как площадь фигуры под графиком этой зависимости. Если тело перемещается из точки с координатой $s_1$ в точку с координатой $s_2$, то работа $A$ численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком $F_s(s)$, осью абсцисс (осью перемещения $s$) и вертикальными линиями $s = s_1$ и $s = s_2$. Если на каком-то участке сила (ее проекция) отрицательна (график ниже оси абсцисс), то и работа на этом участке будет отрицательной.

2. Метод интегрирования. Это более общий и точный математический метод. Весь путь разбивается на бесконечно малые перемещения $d\vec{s}$, на каждом из которых силу $\vec{F}$ можно считать постоянной. Элементарная работа на таком перемещении равна $dA = \vec{F} \cdot d\vec{s}$. Полная работа на пути из точки 1 в точку 2 находится путем суммирования (интегрирования) этих элементарных работ по всей траектории:

$A = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{s}$

Для прямолинейного движения вдоль оси $x$ из точки $x_1$ в точку $x_2$, когда сила зависит от координаты $F_x(x)$, формула упрощается до вида:

$A = \int_{x_1}^{x_2} F_x(x) dx$

Этот интеграл как раз и представляет собой площадь под графиком $F_x(x)$, что связывает оба метода.

Ответ: Работу изменяющейся силы можно определить двумя способами: 1) графически, как площадь фигуры под графиком зависимости проекции силы от перемещения; 2) аналитически, с помощью вычисления интеграла от силы по перемещению $A = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$.

4. Чему равна работа силы тяжести?

Сила тяжести, действующая на тело массой $m$ вблизи поверхности Земли, является постоянной по модулю и направлению: $\vec{F}_{тяж} = m\vec{g}$, где $\vec{g}$ — ускорение свободного падения. Работа этой силы зависит не от формы траектории движения тела, а только от его начального и конечного положений по вертикали. Такие силы называются консервативными.

Пусть тело перемещается из точки, находящейся на высоте $h_1$ от некоторого нулевого уровня, в точку на высоте $h_2$. Работа силы тяжести вычисляется по формуле:

$A_{тяж} = mg(h_1 - h_2)$

Здесь $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $h_1$ — начальная высота, $h_2$ — конечная высота.

Проанализируем эту формулу:

• Если тело движется вниз ($h_1 > h_2$), то разность $(h_1 - h_2)$ положительна, и работа силы тяжести $A_{тяж} > 0$. Сила тяжести направлена в сторону перемещения и "помогает" движению.
• Если тело движется вверх ($h_1 < h_2$), то разность $(h_1 - h_2)$ отрицательна, и работа силы тяжести $A_{тяж} < 0$. Сила тяжести направлена против перемещения и "мешает" движению.
• Если тело движется по горизонтали или возвращается на исходную высоту ($h_1 = h_2$), то работа силы тяжести $A_{тяж} = 0$.

Работа силы тяжести также равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком: $A_{тяж} = -(E_{p2} - E_{p1}) = -(mgh_2 - mgh_1) = mg(h_1 - h_2)$.

Ответ: Работа силы тяжести равна произведению модуля силы тяжести $mg$ на разность начальной и конечной высот тела: $A_{тяж} = mg(h_1 - h_2)$.

5. Чему равна работа силы упругости при растяжении пружины?

Сила упругости, возникающая в пружине при ее деформации (растяжении или сжатии), является переменной силой. Согласно закону Гука, ее величина пропорциональна удлинению $x$ и направлена в сторону, противоположную деформации. Проекция силы упругости на ось $x$, направленную вдоль оси пружины, равна:

$F_{упр, x} = -kx$

где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — ее удлинение (координата конца пружины, если начало отсчета в точке недеформированного состояния).

Поскольку сила переменная, для вычисления ее работы нужно использовать интегрирование. Пусть пружина растягивается из состояния с начальным удлинением $x_1$ в состояние с конечным удлинением $x_2$. Тогда работа силы упругости:

$A_{упр} = \int_{x_1}^{x_2} F_{упр, x} dx = \int_{x_1}^{x_2} (-kx) dx = -k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x_1}^{x_2} = -k (\frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2}) = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Эта формула показывает, что работа силы упругости равна разности между начальной и конечной потенциальной энергией пружины ($E_p = \frac{kx^2}{2}$), или изменению потенциальной энергии, взятому со знаком минус: $A_{упр} = E_{p1} - E_{p2} = -\Delta E_p$. Это означает, что сила упругости, как и сила тяжести, является консервативной.

• При растяжении или сжатии пружины из недеформированного состояния ($x_1=0$) до удлинения $x_2=x$, работа силы упругости отрицательна: $A_{упр} = 0 - \frac{kx^2}{2} = -\frac{kx^2}{2}$. Сила упругости направлена против деформации.
• При возвращении пружины из деформированного состояния ($x_1=x$) в положение равновесия ($x_2=0$), работа силы упругости положительна: $A_{упр} = \frac{kx^2}{2} - 0 = \frac{kx^2}{2}$. Сила упругости направлена в ту же сторону, что и перемещение.

Ответ: Работа силы упругости при изменении ее деформации от $x_1$ до $x_2$ равна $A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$, что равно изменению потенциальной энергии пружины, взятому с противоположным знаком.

5. Чему равна работа силы упругости при растяжении пружины на величину Δх = х₂ - х₁?

Чему равна работа силы упругости при растяжении пружины на величину Δx = x₂ - x₁?

Решение:

Работа силы упругости при изменении деформации пружины от начального значения $x_1$ до конечного значения $x_2$ (где $x_1$ и $x_2$ - это удлинения или сжатия пружины относительно положения равновесия) не зависит напрямую от величины растяжения $\Delta x = x_2 - x_1$, а определяется начальным и конечным состояниями пружины.

Сила упругости является переменной силой, и её работа вычисляется через интегрирование. Согласно закону Гука, проекция силы упругости на ось $x$, направленную вдоль оси пружины, равна $F_{упр,x} = -kx$, где $k$ – жёсткость пружины, а $x$ – её деформация (удлинение).

Работа силы упругости при перемещении конца пружины из точки с координатой $x_1$ в точку с координатой $x_2$ равна:

$A_{упр} = \int_{x_1}^{x_2} F_{упр,x} dx = \int_{x_1}^{x_2} (-kx) dx = -k \int_{x_1}^{x_2} x dx = -k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x_1}^{x_2}$

$A_{упр} = -k \left( \frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2} \right) = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Этот же результат можно получить, используя понятие потенциальной энергии. Работа консервативной силы (каковой является сила упругости) равна изменению потенциальной энергии системы, взятому с противоположным знаком. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины равна $E_p = \frac{kx^2}{2}$.

$A_{упр} = -(E_{p2} - E_{p1}) = E_{p1} - E_{p2} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Таким образом, работа силы упругости равна разности начальной и конечной потенциальных энергий пружины.

Ответ: Работа силы упругости при изменении деформации пружины от $x_1$ до $x_2$ вычисляется по формуле: $A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$.

Покажите на конкретных примерах.

Пример 1: Растяжение пружины из состояния покоя.

Пусть пружина с жёсткостью $k = 200$ Н/м растягивается из недеформированного состояния на $5$ см.

Дано:

$k = 200$ Н/м

$x_1 = 0$ м (начальное состояние - недеформирована)

$x_2 = 5$ см

Перевод в СИ:

$x_2 = 0.05$ м

Найти:

$A_{упр}$ - работа силы упругости.

Решение:

Воспользуемся формулой для работы силы упругости:

$A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Подставим числовые значения:

$A_{упр} = \frac{200 \cdot 0^2}{2} - \frac{200 \cdot (0.05)^2}{2} = 0 - 100 \cdot 0.0025 = -0.25$ Дж.

Работа отрицательна, так как сила упругости направлена против вектора перемещения (против растяжения).

Ответ: работа силы упругости равна $-0.25$ Дж.

Пример 2: Дополнительное растяжение уже растянутой пружины.

Пусть та же пружина ($k = 200$ Н/м), уже растянутая на $5$ см, растягивается ещё на $5$ см (т.е. до общего растяжения в $10$ см).

Дано:

$k = 200$ Н/м

$x_1 = 5$ см

$x_2 = 10$ см

Перевод в СИ:

$x_1 = 0.05$ м

$x_2 = 0.1$ м

Найти:

$A_{упр}$ - работа силы упругости.

Решение:

Используем ту же формулу:

$A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Подставим значения:

$A_{упр} = \frac{200 \cdot (0.05)^2}{2} - \frac{200 \cdot (0.1)^2}{2} = 100 \cdot 0.0025 - 100 \cdot 0.01 = 0.25 - 1.0 = -0.75$ Дж.

Заметим, что хотя пружину растянули на ту же величину ($\Delta x = 5$ см), работа оказалась в 3 раза больше по модулю, чем в первом примере. Это связано с тем, что средняя сила упругости на этом участке была больше.

Ответ: работа силы упругости равна $-0.75$ Дж.

Пример 3: Сжатие растянутой пружины.

Пусть пружина ($k = 200$ Н/м), растянутая на $10$ см, возвращается в состояние, где она растянута на $5$ см.

Дано:

$k = 200$ Н/м

$x_1 = 10$ см

$x_2 = 5$ см

Перевод в СИ:

$x_1 = 0.1$ м

$x_2 = 0.05$ м

Найти:

$A_{упр}$ - работа силы упругости.

Решение:

$A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

$A_{упр} = \frac{200 \cdot (0.1)^2}{2} - \frac{200 \cdot (0.05)^2}{2} = 100 \cdot 0.01 - 100 \cdot 0.0025 = 1.0 - 0.25 = 0.75$ Дж.

В этом случае работа положительна, так как направление силы упругости совпадает с направлением перемещения конца пружины (пружина сжимается).

Ответ: работа силы упругости равна $0.75$ Дж.

6*. Покажите на конкретных примерах, что работа силы зависит от выбора системы отсчёта.

Работа силы зависит от выбора системы отсчёта, поскольку работа является функцией перемещения, а перемещение — это относительная величина, зависящая от системы отсчёта.

Механическая работа $A$, совершаемая постоянной силой $\vec{F}$ при перемещении тела, определяется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения $\vec{s}$ точки приложения силы:$A = \vec{F} \cdot \vec{s} = F s \cos\alpha$,где $F$ и $s$ — модули векторов силы и перемещения соответственно, а $\alpha$ — угол между этими векторами.

Согласно принципу относительности Галилея, в инерциальных системах отсчёта (ИСО), движущихся друг относительно друга с постоянной скоростью, все механические явления протекают одинаково. Силы взаимодействия между телами не зависят от выбора ИСО. То есть, вектор силы $\vec{F}$ является инвариантом при переходе от одной ИСО к другой.

Однако перемещение $\vec{s}$ не является инвариантной величиной. Если тело перемещается на вектор $\vec{s}'$ в системе отсчёта $K'$, которая сама движется с постоянной скоростью $\vec{v}$ относительно системы отсчёта $K$, то за время $\Delta t$ перемещение тела в системе $K$ будет равно:$\vec{s} = \vec{s}' + \vec{v}\Delta t$.

Поскольку работа $A = \vec{F} \cdot \vec{s}$ прямо пропорциональна перемещению $\vec{s}$, а перемещение зависит от системы отсчёта, то и работа будет зависеть от выбора системы отсчёта.

Решение

Рассмотрим конкретный пример, чтобы продемонстрировать эту зависимость.

Пример: Человек поднимает груз в движущемся лифте.

Пусть человек находится в лифте и поднимает груз массой $m$ на высоту $h$ относительно пола лифта. Лифт движется вверх с постоянной скоростью $v$ относительно Земли. Будем считать, что человек поднимает груз очень медленно, так что сила, которую он прикладывает, равна по модулю силе тяжести груза, $F = mg$, и направлена вертикально вверх.

Рассчитаем работу, совершаемую человеком, в двух разных инерциальных системах отсчёта.

1. Система отсчёта, связанная с лифтом (СО').

В этой системе отсчёта лифт и все, что в нем, неподвижны в начальный и конечный моменты подъема груза.

• Сила: Сила, прикладываемая человеком к грузу, направлена вверх и равна по модулю $F = mg$.
• Перемещение: Груз перемещается на высоту $h$ вверх. Вектор перемещения $\vec{s}'$ направлен вверх, его модуль $s' = h$.
• Работа: Угол между силой и перемещением равен $0^\circ$. Работа $A'$, совершаемая человеком в системе отсчёта лифта, равна: $A' = F s' \cos(0^\circ) = (mg)(h)(1) = mgh$.

2. Система отсчёта, связанная с Землёй (СО).

В этой системе отсчёта лифт вместе с человеком и грузом движется вверх со скоростью $v$. Пусть подъём груза на высоту $h$ относительно лифта занял время $\Delta t$.

• Сила: Сила, прикладываемая человеком, не зависит от выбора ИСО и по-прежнему равна $F = mg$, направлена вверх.
• Перемещение: За время $\Delta t$ груз переместился на высоту $h$ относительно лифта, а сам лифт переместился на расстояние $s_{лифта} = v \Delta t$ относительно Земли. Полное перемещение груза $\vec{s}$ относительно Земли является суммой этих перемещений и направлено вверх. Его модуль равен: $s = h + s_{лифта} = h + v \Delta t$.
• Работа: Угол между силой и перемещением по-прежнему $0^\circ$. Работа $A$, совершаемая человеком в системе отсчёта Земли, равна: $A = F s \cos(0^\circ) = mg(h + v \Delta t)$.

Сравнивая результаты, видим, что $A = mgh + mgv\Delta t = A' + mgv\Delta t$.

Поскольку скорость лифта $v > 0$ и время подъёма $\Delta t > 0$, то слагаемое $mgv\Delta t > 0$, и, следовательно, $A > A'$.

Таким образом, работа, совершённая одной и той же силой (силой, приложенной человеком), оказалась различной в двух разных инерциальных системах отсчёта.

Ответ:Работа силы зависит от выбора системы отсчёта, так как величина перемещения точки приложения силы зависит от системы отсчёта, в то время как сама сила (в инерциальных системах) является инвариантной. В примере с поднятием груза массой $m$ на высоту $h$ в лифте, движущемся вверх с постоянной скоростью $v$, работа, совершаемая человеком, в системе отсчёта, связанной с Землёй ($A = mg(h + v\Delta t)$), больше, чем работа в системе отсчёта, связанной с лифтом ($A' = mgh$). Это наглядно показывает, что работа силы не является абсолютной величиной и зависит от выбора системы отсчёта.

Перемещая груз с помощью неподвижного блока, человек выполняет работу, хотя иногда прилагает силу перпендикулярно направлению движения груза. Объясните кажущееся противоречие.

Решение

Данное утверждение кажется противоречивым из-за неверного соотнесения вектора силы, прикладываемой человеком, и вектора перемещения груза. Чтобы разрешить это кажущееся противоречие, необходимо правильно применять определение механической работы.

Механическая работа $A$ вычисляется по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$, где $F$ — это модуль приложенной силы, $s$ — модуль перемещения точки приложения этой силы, а $\alpha$ — угол между вектором силы $\vec{F}$ и вектором перемещения $\vec{s}$.

Ключевой момент заключается в том, что человек прикладывает силу не к грузу напрямую, а к верёвке. Следовательно, для расчёта работы, совершаемой человеком, нужно рассматривать перемещение именно того участка верёвки, за который он тянет.

Направление силы, с которой человек тянет верёвку, всегда совпадает с направлением движения этого участка верёвки. Например, если человек отходит в сторону, он тянет верёвку горизонтально, и точка приложения его силы перемещается также горизонтально. В этом случае угол $\alpha$ между силой человека и перемещением точки её приложения равен $0°$, а $\cos(0°) = 1$. Поэтому человек совершает положительную работу: $A_{человека} = F_{человека} \cdot s_{верёвки}$.

Неподвижный блок изменяет направление силы. Сила натяжения верёвки, создаваемая человеком, передаётся через блок и поднимает груз. Сила, действующая на груз со стороны верёвки, направлена вертикально вверх, то есть сонаправлена с перемещением груза. А сила, которую прикладывает человек к верёвке, может быть направлена под любым удобным углом (вниз, в сторону и т.д.).

Таким образом, нет никакого противоречия. Работа совершается, потому что вектор силы, приложенной человеком, сонаправлен с вектором перемещения точки приложения этой силы (участка верёвки). Тот факт, что сила человека может быть перпендикулярна перемещению груза, не означает, что работа равна нулю, так как для расчёта работы человека используется перемещение верёвки, а не груза.

Ответ:

Противоречие является кажущимся и возникает из-за того, что сравниваются не те векторы. Механическая работа совершается, когда направление силы и направление перемещения точки её приложения не перпендикулярны. Человек прикладывает силу к верёвке, и точка приложения этой силы движется в том же направлении, в котором человек тянет верёвку. Поэтому угол между силой человека и перемещением точки её приложения равен нулю, и работа совершается. Неподвижный блок лишь меняет направление силы, позволяя силе, приложенной, например, горизонтально, совершать работу по подъёму груза вертикально.

1. Сплавщик передвигает багром бревно, прилагая к багру силу 20 Н. Какую работу совершит сплавщик, переместив бревно на 3 м, если угол между направлением силы и перемещения 45°?

Дано:

Сила $F = 20 \text{ Н}$

Перемещение $s = 3 \text{ м}$

Угол $\alpha = 45^\circ$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Работу $A$.

Решение:

Работа, совершаемая постоянной силой, определяется по формуле:

$A = F \cdot s \cdot \cos(\alpha)$

где $F$ — модуль приложенной силы, $s$ — модуль перемещения тела, а $\alpha$ — угол между векторами силы и перемещения.

Подставим числовые значения из условия задачи в формулу:

$A = 20 \text{ Н} \cdot 3 \text{ м} \cdot \cos(45^\circ)$

Мы знаем, что значение косинуса 45° равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$A = 60 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ Дж} = 30\sqrt{2} \text{ Дж}$

Для получения численного ответа, вычислим приближенное значение. Примем $\sqrt{2} \approx 1,414$.

$A \approx 30 \cdot 1,414 \text{ Дж} \approx 42,42 \text{ Дж}$

Округляя до десятых, получаем, что работа, совершенная сплавщиком, составляет приблизительно 42,4 Дж.

Ответ: $A = 30\sqrt{2} \text{ Дж} \approx 42,4 \text{ Дж}$.

2. Вычислите работу, которую совершила лошадь, везущая сани массой 300 кг на расстояние 3 км. Коэффициент трения металла о снег равен 0,02. Движение считать равномерным.

Дано:

m = 300 кг

s = 3 км = 3000 м

μ = 0,02

g ≈ 9,8 м/с²

Найти:

A - ?

Решение:

Работа, совершаемая силой, вычисляется по формуле:

$A = F \cdot s$

где $A$ - работа, $F$ - сила, с которой лошадь тянет сани, $s$ - пройденное расстояние.

В условии задачи сказано, что движение равномерное. Это означает, что скорость саней постоянна, а их ускорение равно нулю ($a=0$). Согласно второму закону Ньютона, если ускорение равно нулю, то равнодействующая всех сил, приложенных к телу, также равна нулю.

На сани в горизонтальном направлении действуют две силы: сила тяги лошади $F_{тяги}$ и сила трения скольжения $F_{тр}$, направленная в противоположную сторону. Поскольку движение равномерное, эти силы уравновешивают друг друга:

$F_{тяги} = F_{тр}$

Сила трения скольжения определяется по формуле:

$F_{тр} = \mu \cdot N$

где $\mu$ - коэффициент трения, а $N$ - сила нормальной реакции опоры. Так как сани движутся по горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции опоры по модулю равна силе тяжести, действующей на сани:

$N = m \cdot g$

где $m$ - масса саней, а $g$ - ускорение свободного падения.

Следовательно, сила тяги лошади равна силе трения:

$F_{тяги} = \mu \cdot m \cdot g$

Теперь мы можем подставить это выражение в формулу для работы:

$A = F_{тяги} \cdot s = (\mu \cdot m \cdot g) \cdot s$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$A = 0,02 \cdot 300 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с²} \cdot 3000 \text{ м}$

Сначала вычислим силу тяги:

$F_{тяги} = 0,02 \cdot 300 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с²} = 6 \cdot 9,8 \text{ Н} = 58,8 \text{ Н}$

Теперь вычислим работу:

$A = 58,8 \text{ Н} \cdot 3000 \text{ м} = 176400 \text{ Дж}$

Работу можно выразить в килоджоулях (1 кДж = 1000 Дж):

$A = 176,4 \text{ кДж}$

Ответ: работа, которую совершила лошадь, равна $176400 \text{ Дж}$ или $176,4 \text{ кДж}$.

3. Мальчик растягивает пружину на 5 см и совершает при этом работу 1,25 Дж. Определите жёсткость пружины.

Дано:

Растяжение пружины, $x = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$

Совершенная работа, $A = 1,25 \text{ Дж}$

Найти:

Жёсткость пружины, $k$

Решение:

Работа, совершаемая при растяжении упругой пружины, равна потенциальной энергии, которую пружина приобретает в результате деформации. Потенциальная энергия упруго деформированного тела вычисляется по формуле:

$A = E_p = \frac{kx^2}{2}$

где $A$ — это работа, равная потенциальной энергии $E_p$, $k$ — это коэффициент жёсткости пружины, а $x$ — это её удлинение (растяжение).

Для того чтобы определить жёсткость пружины $k$, необходимо выразить её из данной формулы:

$2A = kx^2$

$k = \frac{2A}{x^2}$

Подставим известные значения в систему СИ в полученную формулу и выполним расчёт:

$k = \frac{2 \cdot 1,25 \text{ Дж}}{(0,05 \text{ м})^2} = \frac{2,5 \text{ Дж}}{0,0025 \text{ м}^2} = 1000 \text{ Н/м}$

Ответ: жёсткость пружины составляет $1000 \text{ Н/м}$.

4. Подъёмный кран поднимает груз массой 3 т со скоростью 0,1 м/с. Определите мощность, развиваемую двигателем крана.

Дано:

масса груза $m = 3$ т

скорость подъёма $v = 0,1$ м/с

$m = 3 \text{ т} = 3 \cdot 1000 \text{ кг} = 3000$ кг

$v = 0,1$ м/с

Ускорение свободного падения примем равным $g \approx 9,8$ м/с$^2$.

Найти:

мощность двигателя $N$.

Решение:

Мощность $N$ можно определить по формуле, связывающей её с силой $F$ и скоростью $v$:

$N = F \cdot v$

где $F$ — это сила, которую развивает двигатель для подъема груза.

Так как груз поднимают с постоянной скоростью, его ускорение равно нулю. Согласно первому закону Ньютона, это означает, что сила тяги крана $F$, направленная вверх, уравновешивает силу тяжести $F_g$, направленную вниз. Следовательно, по модулю эти силы равны:

$F = F_g$

Силу тяжести находим по формуле:

$F_g = m \cdot g$

Объединив формулы, получим выражение для мощности:

$N = m \cdot g \cdot v$

Теперь подставим известные значения в полученную формулу и произведем вычисления:

$N = 3000 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 0,1 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 2940$ Вт

Результат можно также представить в киловаттах (кВт), учитывая, что $1$ кВт $= 1000$ Вт:

$N = 2940 \text{ Вт} = 2,94$ кВт

Ответ:мощность, развиваемая двигателем крана, равна $2940$ Вт (или $2,94$ кВт).