Номер 4, страница 131 - гдз по физике 9 класс учебник Пёрышкин, Гутник

Ответь на вопросы. § 26. Работа силы. Мощность. Глава 1. Законы движения и взаимодействия тел - номер 4, страница 131.

4. Чему равна работа силы тяжести?

3. Как определить работу изменяющейся силы?

Если сила, действующая на тело, изменяется в процессе его движения, то для нахождения работы нельзя использовать простую формулу $A = Fs \cos\alpha$, так как значение силы $F$ не является постоянным. В этом случае применяют два основных метода: графический и с помощью интегрирования.

1. Графический метод. Этот метод удобен, когда известен график зависимости проекции силы на направление перемещения $F_s$ от координаты $s$. Работу можно найти как площадь фигуры под графиком этой зависимости. Если тело перемещается из точки с координатой $s_1$ в точку с координатой $s_2$, то работа $A$ численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком $F_s(s)$, осью абсцисс (осью перемещения $s$) и вертикальными линиями $s = s_1$ и $s = s_2$. Если на каком-то участке сила (ее проекция) отрицательна (график ниже оси абсцисс), то и работа на этом участке будет отрицательной.

2. Метод интегрирования. Это более общий и точный математический метод. Весь путь разбивается на бесконечно малые перемещения $d\vec{s}$, на каждом из которых силу $\vec{F}$ можно считать постоянной. Элементарная работа на таком перемещении равна $dA = \vec{F} \cdot d\vec{s}$. Полная работа на пути из точки 1 в точку 2 находится путем суммирования (интегрирования) этих элементарных работ по всей траектории:

$A = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{s}$

Для прямолинейного движения вдоль оси $x$ из точки $x_1$ в точку $x_2$, когда сила зависит от координаты $F_x(x)$, формула упрощается до вида:

$A = \int_{x_1}^{x_2} F_x(x) dx$

Этот интеграл как раз и представляет собой площадь под графиком $F_x(x)$, что связывает оба метода.

Ответ: Работу изменяющейся силы можно определить двумя способами: 1) графически, как площадь фигуры под графиком зависимости проекции силы от перемещения; 2) аналитически, с помощью вычисления интеграла от силы по перемещению $A = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$.

4. Чему равна работа силы тяжести?

Сила тяжести, действующая на тело массой $m$ вблизи поверхности Земли, является постоянной по модулю и направлению: $\vec{F}_{тяж} = m\vec{g}$, где $\vec{g}$ — ускорение свободного падения. Работа этой силы зависит не от формы траектории движения тела, а только от его начального и конечного положений по вертикали. Такие силы называются консервативными.

Пусть тело перемещается из точки, находящейся на высоте $h_1$ от некоторого нулевого уровня, в точку на высоте $h_2$. Работа силы тяжести вычисляется по формуле:

$A_{тяж} = mg(h_1 - h_2)$

Здесь $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения, $h_1$ — начальная высота, $h_2$ — конечная высота.

Проанализируем эту формулу:

• Если тело движется вниз ($h_1 > h_2$), то разность $(h_1 - h_2)$ положительна, и работа силы тяжести $A_{тяж} > 0$. Сила тяжести направлена в сторону перемещения и "помогает" движению.
• Если тело движется вверх ($h_1 < h_2$), то разность $(h_1 - h_2)$ отрицательна, и работа силы тяжести $A_{тяж} < 0$. Сила тяжести направлена против перемещения и "мешает" движению.
• Если тело движется по горизонтали или возвращается на исходную высоту ($h_1 = h_2$), то работа силы тяжести $A_{тяж} = 0$.

Работа силы тяжести также равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком: $A_{тяж} = -(E_{p2} - E_{p1}) = -(mgh_2 - mgh_1) = mg(h_1 - h_2)$.

Ответ: Работа силы тяжести равна произведению модуля силы тяжести $mg$ на разность начальной и конечной высот тела: $A_{тяж} = mg(h_1 - h_2)$.

5. Чему равна работа силы упругости при растяжении пружины?

Сила упругости, возникающая в пружине при ее деформации (растяжении или сжатии), является переменной силой. Согласно закону Гука, ее величина пропорциональна удлинению $x$ и направлена в сторону, противоположную деформации. Проекция силы упругости на ось $x$, направленную вдоль оси пружины, равна:

$F_{упр, x} = -kx$

где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — ее удлинение (координата конца пружины, если начало отсчета в точке недеформированного состояния).

Поскольку сила переменная, для вычисления ее работы нужно использовать интегрирование. Пусть пружина растягивается из состояния с начальным удлинением $x_1$ в состояние с конечным удлинением $x_2$. Тогда работа силы упругости:

$A_{упр} = \int_{x_1}^{x_2} F_{упр, x} dx = \int_{x_1}^{x_2} (-kx) dx = -k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x_1}^{x_2} = -k (\frac{x_2^2}{2} - \frac{x_1^2}{2}) = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$

Эта формула показывает, что работа силы упругости равна разности между начальной и конечной потенциальной энергией пружины ($E_p = \frac{kx^2}{2}$), или изменению потенциальной энергии, взятому со знаком минус: $A_{упр} = E_{p1} - E_{p2} = -\Delta E_p$. Это означает, что сила упругости, как и сила тяжести, является консервативной.

• При растяжении или сжатии пружины из недеформированного состояния ($x_1=0$) до удлинения $x_2=x$, работа силы упругости отрицательна: $A_{упр} = 0 - \frac{kx^2}{2} = -\frac{kx^2}{2}$. Сила упругости направлена против деформации.
• При возвращении пружины из деформированного состояния ($x_1=x$) в положение равновесия ($x_2=0$), работа силы упругости положительна: $A_{упр} = \frac{kx^2}{2} - 0 = \frac{kx^2}{2}$. Сила упругости направлена в ту же сторону, что и перемещение.

Ответ: Работа силы упругости при изменении ее деформации от $x_1$ до $x_2$ равна $A_{упр} = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$, что равно изменению потенциальной энергии пружины, взятому с противоположным знаком.