Номер 3, страница 42 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 1. Законы механики. Параграф 8. Свободное падение. Задание 8 - номер 3, страница 42.

Условие.

3. На какой высоте относительно поверхности земли встретятся два мяча, если один брошен вертикально вверх со скоростью 10 м/с, а другой падает с высоты 10 м без начальной скорости? Мячи начинают движение одновременно. Какую скорость относительно земли будут иметь мячи на этой высоте? Сопротивлением воздуха пренебречь. *Постройте графики зависимости координаты каждого мяча от времени и определите по графику время и координату места их встречи.

Решение.

Дано:

Начальная скорость первого мяча (брошенного вверх) $v_{01} = 10 \, \text{м/с}$
Начальная высота первого мяча $y_{01} = 0 \, \text{м}$
Начальная высота второго мяча (падающего) $H = 10 \, \text{м}$
Начальная скорость второго мяча $v_{02} = 0 \, \text{м/с}$
Ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$

Найти:

$h_{встр}$ - высота встречи мячей
$v_1, v_2$ - скорости мячей в момент встречи
$t_{встр}, h_{встр}$ - время и координату встречи по графику

Решение:

На какой высоте относительно поверхности земли встретятся два мяча?

Выберем систему отсчета, связанную с поверхностью земли, ось $OY$ направим вертикально вверх. Начало координат $(y=0)$ находится на земле. Уравнение движения тела при равноускоренном движении имеет вид: $y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$. В нашей системе отсчета проекция ускорения свободного падения на ось $OY$ отрицательна: $a_y = -g$.

Для первого мяча, брошенного вверх с земли, начальные условия: $y_{01} = 0$, $v_{01} = 10 \, \text{м/с}$.
Уравнение его координаты: $y_1(t) = v_{01}t - \frac{gt^2}{2} = 10t - 5t^2$.

Для второго мяча, падающего с высоты $\text{H}$, начальные условия: $y_{02} = H = 10 \, \text{м}$, $v_{02} = 0$.
Уравнение его координаты: $y_2(t) = H - \frac{gt^2}{2} = 10 - 5t^2$.

В момент встречи $t_{встр}$ координаты мячей должны быть одинаковы: $y_1(t_{встр}) = y_2(t_{встр})$.
$10t_{встр} - 5t_{встр}^2 = 10 - 5t_{встр}^2$.

Сократив одинаковые слагаемые в обеих частях уравнения, получим:
$10t_{встр} = 10$
$t_{встр} = 1 \, \text{с}$.

Теперь найдем высоту встречи $h_{встр}$, подставив найденное время $t_{встр}$ в любое из уравнений движения:
$h_{встр} = y_1(1) = 10 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = 10 - 5 = 5 \, \text{м}$.
Для проверки можно подставить во второе уравнение: $h_{встр} = y_2(1) = 10 - 5 \cdot 1^2 = 10 - 5 = 5 \, \text{м}$.

Ответ: Мячи встретятся на высоте 5 м от поверхности земли.

Какую скорость относительно земли будут иметь мячи на этой высоте?

Уравнение для проекции скорости на ось $OY$ в общем виде: $v_y(t) = v_{0y} - gt$.

Для первого мяча:
$v_1(t) = v_{01} - gt = 10 - 10t$.

Для второго мяча:
$v_2(t) = v_{02} - gt = 0 - 10t = -10t$.

Найдем скорости в момент встречи $t_{встр} = 1 \, \text{с}$:
$v_1 = v_1(1) = 10 - 10 \cdot 1 = 0 \, \text{м/с}$.
$v_2 = v_2(1) = -10 \cdot 1 = -10 \, \text{м/с}$.

Скорость первого мяча равна нулю, так как он достиг высшей точки своей траектории. Знак «минус» у скорости второго мяча означает, что он движется вниз, против направления оси $OY$.

Ответ: В момент встречи скорость первого мяча будет равна 0 м/с, а скорость второго мяча будет равна 10 м/с и направлена вертикально вниз.

*Постройте графики зависимости координаты каждого мяча от времени и определите по графику время и координату места их встречи.

Для построения графиков используются полученные уравнения координат:
- Для первого мяча: $y_1(t) = 10t - 5t^2$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(1; 5)$.
- Для второго мяча: $y_2(t) = 10 - 5t^2$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0; 10)$.

На одной координатной плоскости строим графики зависимости высоты $\text{y}$ (в метрах) от времени $\text{t}$ (в секундах) для обоих мячей.

График $y_1(t)$ начинается в точке $(0; 0)$, достигает максимума в точке $(1; 5)$ и возвращается на землю в точке $(2; 0)$.

График $y_2(t)$ начинается в точке $(0; 10)$ и является убывающей функцией для $t>0$.

Точка пересечения двух графиков соответствует моменту времени и высоте, когда мячи находятся в одном и том же месте. Из графического построения видно, что кривые $y_1(t)$ и $y_2(t)$ пересекаются в точке, абсцисса (время) которой равна 1 с, а ордината (высота) равна 5 м.

Ответ: Построив графики зависимостей $y_1(t)$ и $y_2(t)$, можно определить, что они пересекаются в точке с координатами (1 с; 5 м). Это означает, что время встречи составляет 1 с, а высота встречи — 5 м.