Номер 4, страница 42 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 1. Законы механики. Параграф 8. Свободное падение. Задание 8 - номер 4, страница 42.

Условие.

4*. Вычислите ускорение свободного падения, используя данные, полученные Галилеем.

Решение.

Для определения ускорения свободного падения $\text{g}$ Галилео Галилей использовал эксперименты с качением шаров по наклонной плоскости. Прямое измерение времени свободного падения было затруднительно из-за отсутствия в то время точных приборов для измерения малых промежутков времени. Наклонная плоскость позволяла "замедлить" движение и провести более точные измерения. В данной задаче конкретные экспериментальные данные Галилея не предоставлены, поэтому для расчета мы воспользуемся гипотетическими, но реалистичными данными, которые могли быть получены в ходе подобного эксперимента.

Дано:

Длина наклонной плоскости, $L = 5,6$ м
Высота подъема одного из концов плоскости, $h = 1,0$ м
Время скатывания шара по всей длине плоскости, $t = 3,4$ с

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Ускорение свободного падения, $\text{g}$.

Решение:

При скатывании шара по наклонной плоскости его потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Запишем закон сохранения энергии. Начальная потенциальная энергия шара массой $\text{m}$ на высоте $\text{h}$ равна $E_p = mgh$. Конечная кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения $E_{k, \text{пост}} = \frac{1}{2}mv^2$ и кинетической энергии вращательного движения $E_{k, \text{вращ}} = \frac{1}{2}I\omega^2$.

Для сплошного шара момент инерции $I = \frac{2}{5}mr^2$, где $\text{r}$ – радиус шара. При скатывании без проскальзывания угловая скорость $\omega$ связана с линейной скоростью $\text{v}$ соотношением $v = \omega r$. Тогда $E_{k, \text{вращ}} = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5}mr^2 \right) \left( \frac{v}{r} \right)^2 = \frac{1}{5}mv^2$.

Полная кинетическая энергия: $E_k = E_{k, \text{пост}} + E_{k, \text{вращ}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2 = \frac{7}{10}mv^2$.

По закону сохранения энергии $E_p = E_k$:

$mgh = \frac{7}{10}mv^2$

Отсюда можем выразить квадрат скорости шара в конце пути: $v^2 = \frac{10}{7}gh$.

Движение шара по наклонной плоскости является равноускоренным. Для равноускоренного движения из состояния покоя ($v_0 = 0$) пройденный путь $\text{s}$ (в нашем случае $s=L$) и конечная скорость $\text{v}$ связаны соотношением $v^2 = 2aL$, где $\text{a}$ - ускорение центра масс шара. Также путь связан со временем движения формулой $L = \frac{at^2}{2}$, откуда ускорение $a = \frac{2L}{t^2}$.

Подставим выражение для $v^2$ в уравнение, полученное из закона сохранения энергии:

$2aL = \frac{10}{7}gh$

$a = \frac{5gh}{7L}$

Теперь приравняем два полученных выражения для ускорения $\text{a}$:

$\frac{2L}{t^2} = \frac{5gh}{7L}$

Из этого уравнения выразим искомое ускорение свободного падения $\text{g}$:

$g = \frac{2L}{t^2} \cdot \frac{7L}{5h} = \frac{14L^2}{5ht^2}$

Подставим числовые значения из условия:

$g = \frac{14 \cdot (5,6 \text{ м})^2}{5 \cdot 1,0 \text{ м} \cdot (3,4 \text{ с})^2} = \frac{14 \cdot 31,36 \text{ м}^2}{5 \text{ м} \cdot 11,56 \text{ с}^2} = \frac{439,04 \text{ м}^2}{57,8 \text{ м} \cdot \text{с}^2} \approx 7,6 \text{ м/с}^2$.

Полученное значение несколько ниже общепринятого значения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$. Это может быть связано с неучтенными факторами, такими как трение качения и сопротивление воздуха, а также с погрешностями измерений, которые были неизбежны во времена Галилея.

Ответ: $g \approx 7,6 \text{ м/с}^2$.