Номер 5, страница 114 - гдз по физике 9 класс учебник Пурышева, Важеевская

Глава 2. Механические колебания и волны. Параграф 24. Математический и пружинный маятники. Вопросы для самопроверки - номер 5, страница 114.

Условие.

5. В каких точках (см. рис. 79) математический маятник имеет максимальные значения скорости и ускорения, а в каких — минимальные?

Решение.

Решение

Для анализа движения математического маятника рассмотрим его поведение в ключевых точках: в положении равновесия (самая нижняя точка) и в крайних точках траектории (точках максимального отклонения).

Максимальное значение скорости

Согласно закону сохранения механической энергии, полная энергия маятника $E = K + U = \frac{mv^2}{2} + mgh$ остается постоянной. Скорость $\text{v}$ будет максимальной, когда кинетическая энергия $\text{K}$ максимальна. Это происходит в точке, где потенциальная энергия $\text{U}$ минимальна. Самое низкое положение маятника, то есть положение равновесия, соответствует минимальной потенциальной энергии (если принять этот уровень за нулевой, $h=0$). Следовательно, в положении равновесия скорость маятника достигает своего максимального значения.

Ответ: Максимальное значение скорости математический маятник имеет в положении равновесия (самой нижней точке траектории).

Минимальное значение скорости

Скорость маятника будет минимальной, когда его кинетическая энергия $K = \frac{mv^2}{2}$ минимальна. Это происходит в точках, где потенциальная энергия $U = mgh$ максимальна, то есть в точках наибольшей высоты подъема. В этих крайних точках траектории маятник на мгновение замирает перед тем, как начать движение в обратную сторону. Его скорость в этот момент равна нулю, что и является минимально возможным значением.

Ответ: Минимальное значение скорости (равное нулю) математический маятник имеет в крайних точках траектории (точках максимального отклонения).

Максимальное значение ускорения

Ускорение маятника определяется равнодействующей силой, согласно второму закону Ньютона ($ \vec{a} = \frac{\vec{F}_{net}}{m} $). Ускорение можно разложить на тангенциальную (касательную) составляющую, изменяющую величину скорости, и нормальную (центростремительную), изменяющую направление скорости. Возвращающая сила, которая стремится вернуть маятник в положение равновесия, является тангенциальной составляющей силы тяжести $F_t = mg\sin\alpha$, где $\alpha$ — угол отклонения от вертикали. Эта сила, а следовательно, и тангенциальное ускорение $a_t = g\sin\alpha$, максимальны по модулю при максимальном угле отклонения, то есть в крайних точках. В этих же точках скорость равна нулю, а значит, нормальное ускорение $a_n = \frac{v^2}{L}$ тоже равно нулю. Таким образом, полное ускорение в крайних точках равно тангенциальному и является максимальным по модулю.

Ответ: Максимальное значение ускорения математический маятник имеет в крайних точках траектории (точках максимального отклонения).

Минимальное значение ускорения

При прохождении маятником положения равновесия угол отклонения $\alpha$ равен нулю. В этот момент тангенциальная (возвращающая) составляющая силы тяжести равна нулю ($F_t = mg\sin 0 = 0$), а значит, и тангенциальное ускорение равно нулю. Это минимальное значение для тангенциального ускорения, которое отвечает за изменение модуля скорости и характеризует колебательный процесс. Стоит отметить, что полное ускорение в этой точке не равно нулю, так как скорость максимальна, и, следовательно, максимальным является нормальное (центростремительное) ускорение, направленное к точке подвеса. Однако в контексте гармонических колебаний, где ускорение пропорционально смещению ($a \propto -x$), ускорение считается минимальным (нулевым) в положении равновесия ($x=0$).

Ответ: Минимальное значение ускорения (имеется в виду тангенциальное ускорение) математический маятник имеет в положении равновесия (самой нижней точке траектории).