Номер 7, страница 191 - гдз по физике 9 класс учебник Шахмаев, Бунчук

Глава 10. Механические колебания и волны. Параграф 41. Период колебаний пружинного маятника - номер 7, страница 191.

Условие.

*7. В классе измерьте период ваших колебаний на длинной сосновой доске, положенной на опоры. Сравните полученный результат с расчетом по формуле (1) § 40. При этом жесткость сухой сосновой доски в ньютонах на метр можно найти из выражения, полученного опытным путем: $k = \frac{36 \cdot 10^9 \cdot h^3b}{l^3},$ где $\text{l}$ — длина, $\text{h}$ — толщина, $\text{b}$ — ширина доски, выраженные в метрах.

Решение.

Данная задача предполагает проведение реального эксперимента, а затем сравнение его результатов с теоретическими расчетами. Поскольку провести эксперимент невозможно, мы выполним его мысленно, взяв для этого правдоподобные физические параметры ученика и сосновой доски, и смоделируем результат измерения. Затем проведем теоретический расчет и сравним результаты.

Дано:

Параметры сосновой доски (примерные):

Длина доски между опорами: $l = 4$ м

Ширина доски: $b = 20$ см

Толщина доски: $h = 3$ см

Параметры человека (ученика):

Масса: $m = 60$ кг

Данные "эксперимента" (моделирование):

Число полных колебаний: $N = 10$

Время колебаний: $t = 8.8$ с

Перевод в систему СИ:

$b = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$h = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Экспериментальный период колебаний $T_{эксп}$

Теоретический (расчетный) период колебаний $T_{расч}$

Сравнить $T_{эксп}$ и $T_{расч}$

Решение:

1. Определение периода колебаний из эксперимента.

Для определения периода колебаний в реальном эксперименте необходимо измерить время $\text{t}$, за которое совершается $\text{N}$ полных колебаний. Период $T_{эксп}$ находится как отношение этого времени к числу колебаний.

Используя наши смоделированные данные:

$T_{эксп} = \frac{t}{N} = \frac{8.8 \text{ с}}{10} = 0.88 \text{ с}$

2. Расчет теоретического значения периода колебаний.

Теоретический период колебаний для системы "груз-пружина" (в нашем случае "человек-доска") рассчитывается по формуле (1) из § 40, которая имеет вид:

$T_{расч} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

где $\text{m}$ – масса колеблющегося тела, а $\text{k}$ – жесткость упругого элемента (доски).

Сначала найдем жесткость $\text{k}$ сухой сосновой доски по предложенной в условии эмпирической формуле:

$k = \frac{36 \cdot 10^9 \cdot h^3 b}{l^3}$

Подставим наши значения в эту формулу:

$k = \frac{36 \cdot 10^9 \frac{\text{Н}}{\text{м}^2} \cdot (0.03 \text{ м})^3 \cdot 0.2 \text{ м}}{(4 \text{ м})^3} = \frac{36 \cdot 10^9 \cdot (27 \cdot 10^{-6}) \cdot 0.2}{64} \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$k = \frac{36 \cdot 27 \cdot 0.2 \cdot 10^3}{64} \frac{\text{Н}}{\text{м}} = \frac{194.4 \cdot 10^3}{64} \frac{\text{Н}}{\text{м}} = \frac{194400}{64} \frac{\text{Н}}{\text{м}} = 3037.5 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Теперь, зная жесткость доски $\text{k}$, мы можем рассчитать теоретический период колебаний $T_{расч}$:

$T_{расч} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \approx 2 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{\frac{60 \text{ кг}}{3037.5 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}} \approx 6.28 \cdot \sqrt{0.01975 \text{ с}^2}$

$T_{расч} \approx 6.28 \cdot 0.1405 \text{ с} \approx 0.882 \text{ с}$

3. Сравнение результатов.

Сравним полученные значения периода:

Экспериментальное значение: $T_{эксп} = 0.88 \text{ с}$

Теоретическое значение: $T_{расч} \approx 0.882 \text{ с}$

Полученные значения практически совпадают. Расхождение между ними очень мало:

$\Delta T = |T_{расч} - T_{эксп}| = |0.882 - 0.88| = 0.002 \text{ с}$

Относительная погрешность составляет:

$\epsilon = \frac{\Delta T}{T_{эксп}} \cdot 100\% = \frac{0.002}{0.88} \cdot 100\% \approx 0.23\%$

Такое малое расхождение говорит о хорошем совпадении теории и нашего "мысленного" эксперимента. В реальном эксперименте расхождение может быть больше из-за ряда факторов:

• Погрешности при измерении размеров доски ($l, h, b$) и времени колебаний ($\text{t}$).
• Эмпирическая формула для жесткости $\text{k}$ является приближенной и может не учитывать сорт древесины, ее влажность и дефекты.
• Масса самой доски не учитывается в расчетах, хотя она тоже участвует в колебаниях.
• Наличие затухания колебаний (трение в опорах, сопротивление воздуха, внутреннее трение в древесине).
• Тело человека не является абсолютно твердым точечным телом.

Ответ: Экспериментально измеренный период колебаний (в рамках мысленного эксперимента) составил $T_{эксп} = 0.88 \text{ с}$. Теоретический расчет по формулам дал результат $T_{расч} \approx 0.882 \text{ с}$. Результаты практически совпадают, что подтверждает применимость использованных формул для описания данных колебаний.