Номер 3, страница 106 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

3. Рассчитайте напряженность гравитационного поля Марса на расстоянии $0,5R_M$, $R_M$, $1,5R_M$, $2R_M$ от его поверхности. Изобразите график полученной зависимости, сравните с графиком зависимости ускорения свободного падения Земли от расстояния.

Дано:

Высота над поверхностью Марса $h$ принимает значения: $h_1 = 0,5R_М$, $h_2 = R_М$, $h_3 = 1,5R_М$, $h_4 = 2R_М$.

Масса Марса $M_М = 6,42 \times 10^{23}$ кг.

Средний радиус Марса $R_М = 3390$ км.

Гравитационная постоянная $G = 6,674 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг².

Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_З \approx 9,81$ м/с².

Перевод в систему СИ:

$R_М = 3390 \times 10^3$ м $= 3,39 \times 10^6$ м.

Найти:

$g_1, g_2, g_3, g_4$ — напряженность гравитационного поля Марса на заданных высотах.

Построить график зависимости $g_M(r)$.

Сравнить полученный график с графиком для Земли.

Решение:

Напряженность гравитационного поля $g$ (которая численно равна ускорению свободного падения) на расстоянии $r$ от центра планеты массой $M$ определяется по формуле закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{r^2}$

Расстояние $r$ от центра планеты связано с высотой $h$ над ее поверхностью и радиусом планеты $R$ соотношением $r = R + h$.

Сначала вычислим ускорение свободного падения на поверхности Марса ($h=0$, следовательно $r=R_M$):

$g_M = G \frac{M_M}{R_M^2} = 6,674 \times 10^{-11} \frac{6,42 \times 10^{23}}{(3,39 \times 10^6)^2} \approx 3,73 \text{ м/с²}$

Для дальнейших расчетов удобно использовать формулу, выражающую ускорение на произвольном расстоянии $r$ через ускорение на поверхности $g_M$:

$g(r) = G \frac{M_M}{r^2} = \left(G \frac{M_M}{R_M^2}\right) \frac{R_M^2}{r^2} = g_M \left(\frac{R_M}{r}\right)^2 = g_M \left(\frac{R_M}{R_M+h}\right)^2$

Расчет напряженности гравитационного поля Марса на расстоянии 0,5R_М, R_М, 1,5R_М, 2R_М от его поверхности

1. Для высоты $h_1 = 0,5 R_М$ расстояние от центра $r_1 = R_М + 0,5R_М = 1,5R_М$. Напряженность поля: $g_1 = g_M \left(\frac{R_М}{1,5R_М}\right)^2 = \frac{g_M}{1,5^2} = \frac{g_M}{2,25} = \frac{3,73}{2,25} \approx 1,66 \text{ м/с²}$.

2. Для высоты $h_2 = R_М$ расстояние от центра $r_2 = R_М + R_М = 2R_М$. Напряженность поля: $g_2 = g_M \left(\frac{R_М}{2R_М}\right)^2 = \frac{g_M}{2^2} = \frac{g_M}{4} = \frac{3,73}{4} \approx 0,93 \text{ м/с²}$.

3. Для высоты $h_3 = 1,5 R_М$ расстояние от центра $r_3 = R_М + 1,5R_М = 2,5R_М$. Напряженность поля: $g_3 = g_M \left(\frac{R_М}{2,5R_М}\right)^2 = \frac{g_M}{2,5^2} = \frac{g_M}{6,25} = \frac{3,73}{6,25} \approx 0,60 \text{ м/с²}$.

4. Для высоты $h_4 = 2 R_М$ расстояние от центра $r_4 = R_М + 2R_М = 3R_М$. Напряженность поля: $g_4 = g_M \left(\frac{R_М}{3R_М}\right)^2 = \frac{g_M}{3^2} = \frac{g_M}{9} = \frac{3,73}{9} \approx 0,41 \text{ м/с²}$.

Ответ: Напряженность гравитационного поля Марса на расстояниях $0,5R_М$, $R_М$, $1,5R_М$ и $2R_М$ от поверхности составляет соответственно $1,66$ м/с², $0,93$ м/с², $0,60$ м/с² и $0,41$ м/с².

Изображение графика полученной зависимости

Для построения графика зависимости напряженности поля $g$ от расстояния до центра планеты $r$ отложим по оси абсцисс (горизонтальной) расстояние $r$, выраженное в радиусах Марса ($r/R_M$), а по оси ординат (вертикальной) — напряженность поля $g$ в м/с². Используем вычисленные значения, а также значение на поверхности ($r=R_M$):

• При $r/R_M = 1$: $g = 3,73$ м/с² (поверхность)

• При $r/R_M = 1,5$: $g \approx 1,66$ м/с²

• При $r/R_M = 2$: $g \approx 0,93$ м/с²

• При $r/R_M = 2,5$: $g \approx 0,60$ м/с²

• При $r/R_M = 3$: $g \approx 0,41$ м/с²

Ответ: График представляет собой ветвь гиперболы, показывающую, что напряженность гравитационного поля убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Марса. Кривая начинается в точке (1; 3,73) и асимптотически приближается к оси абсцисс, проходя через вычисленные точки.

Сравнение с графиком зависимости ускорения свободного падения Земли от расстояния

Зависимость ускорения свободного падения от расстояния для Земли описывается той же функцией $g_З(r) = g_{З0} \left(\frac{R_З}{r}\right)^2$, где $g_{З0} \approx 9,81$ м/с², а $R_З$ - радиус Земли.

Сходства:

• Оба графика имеют одинаковую форму (ветвь гиперболы), так как в обоих случаях зависимость является обратно-квадратичной ($g \propto 1/r^2$).

Различия:

• График для Земли начинается со значительно большего значения ($g_{З0} \approx 9,81$ м/с²), чем график для Марса ($g_{M} \approx 3,73$ м/с²), что связано с большей массой Земли.

• При любых равных кратных радиусам расстояниях ($k \cdot R$) ускорение свободного падения Земли будет оставаться больше, чем у Марса. Например, на высоте одного радиуса над поверхностью ($r=2R$), ускорение для Земли будет $g_З(2R_З) \approx 9,81/4 \approx 2,45$ м/с², а для Марса $g_M(2R_M) \approx 0,93$ м/с².

Ответ: Графики для Марса и Земли имеют одинаковую гиперболическую форму, но график для Земли расположен "выше" из-за большего значения ускорения свободного падения на поверхности и на любой другой высоте, что обусловлено большей массой Земли по сравнению с массой Марса.