Номер 2, страница 146 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. Найдите амплитуду, период, частоту и циклическую частоту колебаний математического маятника по графику, изображенному на рисунке 143. При каких значениях фаз смещение достигает минимального значения?

Рис. 143. График колебаний. К упражнению 24д.2.

Дано:

Анализ производится по графику зависимости смещения $x$ от времени $t$.
Из графика находим:
Максимальное смещение от положения равновесия: $x_{max} = 0,2$ м.
Время одного полного колебания (период): $T = 4$ с.
Все данные представлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$A$ - амплитуда
$T$ - период
$\nu$ - частота
$\omega$ - циклическая частота
$\phi_{min}$ - значения фаз, при которых смещение достигает минимального значения

Решение:

Амплитуда
Амплитуда ($A$) — это модуль максимального смещения колеблющейся точки от положения равновесия. По графику видно, что максимальное значение смещения $x_{max}$ равно $0,2$ м.
$A = x_{max} = 0,2$ м.

Ответ: Амплитуда колебаний составляет $0,2$ м.

Период
Период ($T$) — это наименьший промежуток времени, через который система возвращается в то же состояние (совершает одно полное колебание). Из графика видно, что одно полное колебание происходит за $4$ секунды (например, от $t=0$ до $t=4$ с, где тело проходит через положение равновесия в одном и том же направлении).
$T = 4$ с.

Ответ: Период колебаний составляет $4$ с.

Частота
Частота ($\nu$) — это число полных колебаний, совершаемых за единицу времени. Частота является величиной, обратной периоду.
$\nu = \frac{1}{T}$
Подставив значение периода, получаем:
$\nu = \frac{1}{4 \text{ с}} = 0,25$ Гц.

Ответ: Частота колебаний составляет $0,25$ Гц.

Циклическая частота
Циклическая, или угловая, частота ($\omega$) связана с обычной частотой и периодом следующими соотношениями:
$\omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}$
Подставим значение периода:
$\omega = \frac{2\pi}{4 \text{ с}} = \frac{\pi}{2}$ рад/с.

Ответ: Циклическая частота колебаний составляет $\frac{\pi}{2}$ рад/с.

Значения фаз, при которых смещение достигает минимального значения
Общее уравнение гармонических колебаний: $x(t) = A\sin(\omega t + \phi_0)$, где $(\omega t + \phi_0)$ — фаза колебаний. Из графика следует, что в начальный момент времени $t=0$, смещение $x=0$, а скорость положительна (график идет вверх). Это соответствует начальной фазе $\phi_0 = 0$. Таким образом, уравнение движения имеет вид $x(t) = A\sin(\omega t)$, а фаза колебаний в момент времени $t$ равна $\phi(t) = \omega t$. Смещение достигает минимального значения, когда $x = x_{min} = -A$.
Подставим это в уравнение:
$-A = A\sin(\phi)$
$\sin(\phi) = -1$
Общее решение этого тригонометрического уравнения для фазы $\phi$ имеет вид:
$\phi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: Смещение достигает минимального значения при значениях фазы $\phi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.