Задание 3, страница 149 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 3

Рассмотрите графики зависимости скорости и ускорения, приведенные на рисунках 148, 149.

Сравните с графиком зависимости координаты тела от времени (рис. 147).

Рис. 148. График зависимости скорости движения колеблющегося тела от времени в пределах одного периода

Рис. 149. График зависимости ускорения колеблющегося тела от времени в пределах одного периода

Рис. 147. График зависимости координаты колеблющегося тела от времени в пределах одного периода

Анализ и сравнение представленных графиков основаны на фундаментальных соотношениях механики для колебательного движения. Скорость $v$ является первой производной от координаты $x$ по времени $t$, а ускорение $a$ — первой производной от скорости $v$ (и, соответственно, второй производной от координаты $x$) по времени.

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d^2x(t)}{dt^2}$

Все три графика описывают гармонические колебания. График зависимости координаты от времени (рис. 147), если предположить, что в начальный момент времени ($t=0$) тело проходит положение равновесия, движется в сторону положительных координат, описывается законом синуса:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

где $A$ — амплитуда колебаний, а $\omega = 2\pi/T$ — циклическая частота.

Тогда зависимость скорости от времени будет описываться производной от координаты:

$v(t) = (A \sin(\omega t))' = A\omega \cos(\omega t)$

Это соответствует графику на рис. 148, который представляет собой косинусоиду. Максимальное значение скорости $v_{max} = A\omega$.

Зависимость ускорения от времени будет описываться производной от скорости:

$a(t) = (A\omega \cos(\omega t))' = -A\omega^2 \sin(\omega t)$

Это соответствует графику на рис. 149, который представляет собой перевернутую синусоиду. Максимальное значение модуля ускорения $a_{max} = A\omega^2$. Также из формул видно, что $a(t) = -\omega^2 x(t)$, то есть ускорение прямо пропорционально смещению и направлено в противоположную сторону.

Сравнение графиков на различных временных интервалах

Проанализируем движение тела в течение одного периода $T$, разбив его на четыре части.

1. Интервал от $t=0$ до $t=T/4$:

- Координата (рис. 147): Тело движется от положения равновесия ($x=0$) до максимального положительного смещения ($x=A$).

- Скорость (рис. 148): В момент $t=0$ скорость максимальна и положительна, затем она уменьшается до нуля в момент $t=T/4$. Тело замедляется.

- Ускорение (рис. 149): В момент $t=0$ ускорение равно нулю, затем становится отрицательным и достигает максимального по модулю значения ($-a_{max}$) в момент $t=T/4$. Ускорение направлено против движения.

2. Интервал от $t=T/4$ до $t=T/2$:

- Координата (рис. 147): Тело движется от максимального смещения ($x=A$) обратно к положению равновесия ($x=0$).

- Скорость (рис. 148): Скорость отрицательна, ее модуль возрастает от 0 до максимального значения ($-v_{max}$). Тело ускоряется в отрицательном направлении.

- Ускорение (рис. 149): Ускорение остается отрицательным, но его модуль уменьшается от максимального значения до нуля. Ускорение сонаправлено со скоростью.

3. Интервал от $t=T/2$ до $t=3T/4$:

- Координата (рис. 147): Тело движется от положения равновесия ($x=0$) до максимального отрицательного смещения ($x=-A$).

- Скорость (рис. 148): Скорость отрицательна, ее модуль уменьшается от максимального значения до нуля. Тело замедляется.

- Ускорение (рис. 149): Ускорение становится положительным, его модуль растет от 0 до максимального значения ($a_{max}$). Ускорение направлено против движения.

4. Интервал от $t=3T/4$ до $t=T$:

- Координата (рис. 147): Тело движется от максимального отрицательного смещения ($x=-A$) обратно к положению равновесия ($x=0$).

- Скорость (рис. 148): Скорость становится положительной, ее модуль возрастает от 0 до максимального значения. Тело ускоряется.

- Ускорение (рис. 149): Ускорение остается положительным, его модуль уменьшается от максимального значения до нуля. Ускорение сонаправлено со скоростью.

Выводы о фазовых соотношениях

1. Скорость и координата: График скорости $v(t)$ (рис. 148) опережает по фазе график координаты $x(t)$ (рис. 147) на четверть периода ($T/4$), что соответствует сдвигу фаз на $\pi/2$. Когда тело находится в положении равновесия ($x=0$), его скорость максимальна по модулю. В точках максимального смещения ($x=\pm A$), скорость равна нулю.

2. Ускорение и скорость: График ускорения $a(t)$ (рис. 149) опережает по фазе график скорости $v(t)$ (рис. 148) также на четверть периода ($T/4$) или $\pi/2$. Когда скорость равна нулю (в крайних точках траектории), ускорение максимально по модулю. Когда скорость максимальна (в положении равновесия), ускорение равно нулю.

3. Ускорение и координата: График ускорения $a(t)$ (рис. 149) находится в противофазе с графиком координаты $x(t)$ (рис. 147). Сдвиг фаз между ними составляет половину периода ($T/2$), или $\pi$. Это означает, что ускорение всегда направлено в сторону, противоположную смещению тела от положения равновесия. В любой момент времени $a(t) \sim -x(t)$.

Ответ: Графики скорости (рис. 148) и ускорения (рис. 149) представляют собой производные по времени от графика координаты (рис. 147). Это проявляется в сдвиге фаз между ними: колебания скорости опережают колебания координаты на $T/4$ (фазовый сдвиг $\pi/2$), а колебания ускорения опережают колебания скорости на $T/4$ (фазовый сдвиг $\pi/2$). Таким образом, ускорение и координата колеблются в противофазе (сдвиг на $T/2$ или $\pi$). В физическом смысле это означает, что при прохождении положения равновесия ($x=0$) скорость тела максимальна, а ускорение равно нулю. В точках максимального отклонения ($x=\pm A$) скорость тела равна нулю, а ускорение максимально по модулю и направлено в сторону, противоположную смещению.