Задание 5, страница 150 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 5

1. Определите максимальные значения ускорения и скорости колеблющегося тела по графику зависимости смещения от времени (рис. 150).

2. Постройте графики зависимости скорости и ускорения от времени.

Рис. 150. К заданиям 4, 5

1. Определите максимальные значения ускорения и скорости колеблющегося тела по графику зависимости смещения от времени (рис. 150).

Дано:

Из графика зависимости смещения от времени $x(t)$ (Рис. 150) определяем:
Амплитуда колебаний: $A = x_{max} = 3$ м.
Период колебаний (время одного полного колебания): $T = 4$ с.

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Максимальное значение скорости $v_{max}$ — ?
Максимальное значение ускорения $a_{max}$ — ?

Решение:

Зависимость смещения тела от времени при гармонических колебаниях описывается уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$.
Из графика видно, что в начальный момент времени $t=0$ смещение максимально и равно амплитуде ($x(0) = A$). Это соответствует начальной фазе $\phi_0 = 0$. Таким образом, уравнение движения тела: $x(t) = A \cos(\omega t)$.
Циклическая (угловая) частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением: $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
Подставим известное значение периода: $\omega = \frac{2\pi}{4 \text{ с}} = \frac{\pi}{2}$ рад/с.
Скорость тела $v(t)$ является первой производной от смещения по времени: $v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A \cos(\omega t)) = -A\omega \sin(\omega t)$.
Максимальное значение скорости по модулю (амплитуда скорости) достигается, когда $|\sin(\omega t)| = 1$: $v_{max} = A\omega$.
Вычислим максимальную скорость: $v_{max} = 3 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{2} \text{ рад/с} = 1,5\pi$ м/с.
Приближенное значение: $v_{max} \approx 1,5 \cdot 3,14 \approx 4,71$ м/с.
Ускорение тела $a(t)$ является первой производной от скорости по времени (или второй производной от смещения): $a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(-A\omega \sin(\omega t)) = -A\omega^2 \cos(\omega t)$.
Максимальное значение ускорения по модулю (амплитуда ускорения) достигается, когда $|\cos(\omega t)| = 1$: $a_{max} = A\omega^2$.
Вычислим максимальное ускорение: $a_{max} = 3 \text{ м} \cdot (\frac{\pi}{2} \text{ рад/с})^2 = 3 \cdot \frac{\pi^2}{4}$ м/с² $= 0,75\pi^2$ м/с².
Приближенное значение: $a_{max} \approx 0,75 \cdot (3,14)^2 \approx 0,75 \cdot 9,86 \approx 7,4$ м/с².

Ответ: максимальное значение скорости $v_{max} = 1,5\pi$ м/с (приблизительно 4,71 м/с); максимальное значение ускорения $a_{max} = 0,75\pi^2$ м/с² (приблизительно 7,4 м/с²).

Решение:

Для построения графиков используем уравнения для скорости и ускорения, полученные в пункте 1.
Уравнение скорости: $v(t) = -A\omega \sin(\omega t) = -1,5\pi \sin(\frac{\pi}{2} t)$.
Уравнение ускорения: $a(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t) = -0,75\pi^2 \cos(\frac{\pi}{2} t)$.

Описание графика скорости $v(t)$:
Это график синусоидальной функции с отрицательным знаком. Колебания скорости сдвинуты по фазе относительно колебаний смещения на $-\pi/2$.
- Амплитуда колебаний скорости: $v_{max} = 1,5\pi \approx 4,71$ м/с.
- Период колебаний: $T = 4$ с.
- Ключевые точки на графике:
- при $t=0$ с, $v(0) = 0$. Тело в крайнем положении, скорость равна нулю.
- при $t=1$ с, $v(1) = -1,5\pi$. Тело проходит положение равновесия, двигаясь в отрицательном направлении оси X, скорость максимальна по модулю и отрицательна.
- при $t=2$ с, $v(2) = 0$. Тело в другом крайнем положении, скорость снова равна нулю.
- при $t=3$ с, $v(3) = 1,5\pi$. Тело проходит положение равновесия, двигаясь в положительном направлении, скорость максимальна и положительна.
- при $t=4$ с, $v(4) = 0$. Тело возвращается в исходное положение, завершая цикл.
График представляет собой синусоиду, начинающуюся в (0,0), идущую вниз до минимума $-1,5\pi$ при $t=1$ с, пересекающую ось времени в $t=2$ с, достигающую максимума $1,5\pi$ при $t=3$ с и возвращающуюся к нулю в $t=4$ с.

Описание графика ускорения $a(t)$:
Это график косинусоидальной функции с отрицательным знаком. Колебания ускорения находятся в противофазе с колебаниями смещения (сдвиг фаз равен $\pi$).
- Амплитуда колебаний ускорения: $a_{max} = 0,75\pi^2 \approx 7,4$ м/с².
- Период колебаний: $T = 4$ с.
- Ключевые точки на графике:
- при $t=0$ с, $a(0) = -0,75\pi^2$. В крайнем положительном положении ускорение максимально по модулю и направлено в противоположную сторону (к положению равновесия).
- при $t=1$ с, $a(1) = 0$. В положении равновесия ускорение равно нулю.
- при $t=2$ с, $a(2) = 0,75\pi^2$. В крайнем отрицательном положении ускорение максимально и направлено в положительную сторону (к положению равновесия).
- при $t=3$ с, $a(3) = 0$. В положении равновесия ускорение снова равно нулю.
- при $t=4$ с, $a(4) = -0,75\pi^2$. Тело возвращается в исходное состояние.
График представляет собой перевернутую косинусоиду, начинающуюся с минимального значения $-0,75\pi^2$ при $t=0$, пересекающую ось времени в $t=1$ с, достигающую максимального значения $0,75\pi^2$ при $t=2$ с, снова пересекающую ось времени в $t=3$ с и возвращающуюся к минимуму при $t=4$ с.

Ответ: Зависимости скорости и ускорения от времени описываются уравнениями $v(t) = -1,5\pi \sin(\frac{\pi}{2} t)$ и $a(t) = -0,75\pi^2 \cos(\frac{\pi}{2} t)$. Графики этих зависимостей представляют собой синусоидальные кривые с периодом 4 с и амплитудами $1,5\pi$ м/с и $0,75\pi^2$ м/с² соответственно. График скорости сдвинут по фазе на $-\pi/2$ относительно графика смещения, а график ускорения находится в противофазе (сдвиг на $\pi$).