Номер 1, страница 152 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

1. Груз массой 400 г совершает колебания на пружине с жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Определите полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость движения груза.

Дано:

масса груза, $m = 400 \text{ г}$

жесткость пружины, $k = 250 \text{ Н/м}$

амплитуда колебаний, $A = 15 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$m = 400 \text{ г} = 0.4 \text{ кг}$

$A = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$

Найти:

полную механическую энергию, $E - ?$

наибольшую скорость, $v_{max} - ?$

Решение:

Полная механическая энергия $E$ системы «груз-пружина» при гармонических колебаниях остается постоянной и складывается из кинетической энергии груза $E_k$ и потенциальной энергии упруго деформированной пружины $E_p$:

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

где $m$ - масса груза, $v$ - его скорость, $k$ - жесткость пружины, $x$ - смещение груза от положения равновесия.

1. Определение полной механической энергии.

В крайних точках траектории, когда смещение максимально и равно амплитуде ($x = \pm A$), скорость груза равна нулю ($v=0$). В этих точках вся механическая энергия системы является потенциальной. Следовательно, полную энергию можно определить как максимальную потенциальную энергию:

$E = E_{p, max} = \frac{kA^2}{2}$

Выполним расчет, подставив числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$E = \frac{250 \text{ Н/м} \cdot (0.15 \text{ м})^2}{2} = \frac{250 \cdot 0.0225}{2} = 125 \cdot 0.0225 = 2.8125 \text{ Дж}$

2. Определение наибольшей скорости движения груза.

Наибольшая скорость движения груза $v_{max}$ достигается при прохождении положения равновесия ($x=0$). В этот момент потенциальная энергия пружины равна нулю, а вся механическая энергия системы представлена в виде кинетической энергии груза. Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия равна максимальной кинетической энергии:

$E = E_{k, max} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Из этого равенства выразим наибольшую скорость $v_{max}$:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2E}{m}}$

Подставим ранее найденное значение полной энергии $E$ и массу $m$:

$v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2.8125 \text{ Дж}}{0.4 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{5.625}{0.4}} = \sqrt{14.0625} = 3.75 \text{ м/с}$

Этот же результат можно получить, приравняв выражения для максимальной потенциальной и максимальной кинетической энергии:

$\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2} \implies kA^2 = mv_{max}^2$

$v_{max} = \sqrt{\frac{kA^2}{m}} = A \sqrt{\frac{k}{m}} = 0.15 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{250 \text{ Н/м}}{0.4 \text{ кг}}} = 0.15 \cdot \sqrt{625} = 0.15 \cdot 25 = 3.75 \text{ м/с}$

Ответ: полная механическая энергия колебаний $2.8125 \text{ Дж}$; наибольшая скорость движения груза $3.75 \text{ м/с}$.