Номер 2, страница 152 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. Во сколько раз изменится полная механическая энергия колеблющегося маятника при уменьшении его длины в 3 раза и увеличении амплитуды в 2 раза?

Дано:

$l_1$ – начальная длина маятника

$A_1$ – начальная амплитуда колебаний

$l_2 = \frac{l_1}{3}$ – конечная длина маятника

$A_2 = 2A_1$ – конечная амплитуда колебаний

В данной задаче перевод в систему СИ не требуется, так как ищется относительное изменение величины.

Найти:

$\frac{E_2}{E_1}$ – отношение конечной полной механической энергии к начальной.

Решение:

Полная механическая энергия гармонического осциллятора, каким для малых углов отклонения является математический маятник, равна его максимальной потенциальной энергии или максимальной кинетической энергии. Удобнее всего выразить ее через максимальную потенциальную энергию, которая достигается в точках максимального отклонения (амплитудных точках), где скорость равна нулю.

Полная энергия $E$ равна:

$E = \frac{1}{2}kA^2$

где $A$ – амплитуда колебаний, а $k$ – коэффициент жесткости системы.

Для математического маятника возвращающая сила при малых отклонениях $x$ от положения равновесия определяется как $F = -\frac{mg}{l}x$. Сравнивая это выражение с законом Гука $F = -kx$, находим коэффициент жесткости для математического маятника:

$k = \frac{mg}{l}$

где $m$ – масса маятника, $g$ – ускорение свободного падения, $l$ – длина маятника.

Подставим выражение для $k$ в формулу полной энергии:

$E = \frac{1}{2} \cdot \frac{mg}{l} \cdot A^2 = \frac{mgA^2}{2l}$

Запишем выражения для начальной ($E_1$) и конечной ($E_2$) энергий маятника.

Начальная энергия:

$E_1 = \frac{mgA_1^2}{2l_1}$

Конечная энергия с учетом изменений длины и амплитуды:

$E_2 = \frac{mgA_2^2}{2l_2}$

Подставим в выражение для $E_2$ заданные в условии соотношения $l_2 = l_1/3$ и $A_2 = 2A_1$:

$E_2 = \frac{mg(2A_1)^2}{2(l_1/3)} = \frac{mg \cdot 4A_1^2}{2l_1/3}$

Теперь найдем отношение конечной энергии к начальной:

$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{mg \cdot 4A_1^2}{2l_1/3}}{\frac{mgA_1^2}{2l_1}}$

Сократим одинаковые множители ($mg$, $A_1^2$, $2$, $l_1$):

$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\frac{4}{1/3}}{1} = 4 \cdot 3 = 12$

Таким образом, полная механическая энергия маятника увеличится в 12 раз.

Ответ: полная механическая энергия увеличится в 12 раз.