Номер 1, страница 152 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

1. Определите максимальную скорость маятника механических часов, если длина маятника $20 \text{ см}$, максимальный угол отклонения $10^\circ$.

1. Дано:

$L = 20$ см

$\alpha_{max} = 10^\circ$

В системе СИ:

$L = 0.2$ м

Найти:

$v_{max}$

Решение:

Для определения максимальной скорости маятника воспользуемся законом сохранения механической энергии. Полная механическая энергия маятника $E$ равна сумме его кинетической энергии $E_k$ и потенциальной энергии $E_p$. В отсутствие сил трения и сопротивления воздуха полная механическая энергия сохраняется.

$E = E_k + E_p = const$

Выберем за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии самое нижнее положение маятника (положение равновесия).

1. В точке максимального отклонения (на угле $\alpha_{max}$) маятник на мгновение останавливается, поэтому его скорость равна нулю, а следовательно, и кинетическая энергия $E_k = 0$. Вся энергия маятника является потенциальной. Эта энергия определяется высотой $h_{max}$, на которую маятник поднимается относительно положения равновесия.

$E = E_{p\_max} = mgh_{max}$

где $m$ - масса маятника, $g$ - ускорение свободного падения (примем $g \approx 9.8$ м/с$^2$).

2. При прохождении положения равновесия высота маятника $h=0$, поэтому его потенциальная энергия $E_p = 0$. В этой точке скорость маятника максимальна ($v = v_{max}$), и вся энергия является кинетической.

$E = E_{k\_max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$

3. Согласно закону сохранения энергии, полная энергия в точке максимального отклонения равна полной энергии в положении равновесия:

$E_{p\_max} = E_{k\_max}$

$mgh_{max} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$

Масса маятника $m$ сокращается, что означает, что скорость не зависит от массы:

$gh_{max} = \frac{1}{2}v_{max}^2$

4. Найдем высоту $h_{max}$ из геометрических соображений. Когда маятник длиной $L$ отклонен на угол $\alpha_{max}$, его вертикальное смещение вниз от точки подвеса составляет $L\cos(\alpha_{max})$. Высота $h_{max}$ - это разница между длиной маятника $L$ и этой проекцией.

$h_{max} = L - L\cos(\alpha_{max}) = L(1 - \cos(\alpha_{max}))$

5. Подставим выражение для $h_{max}$ в уравнение сохранения энергии:

$gL(1 - \cos(\alpha_{max})) = \frac{1}{2}v_{max}^2$

Отсюда выразим максимальную скорость $v_{max}$:

$v_{max}^2 = 2gL(1 - \cos(\alpha_{max}))$

$v_{max} = \sqrt{2gL(1 - \cos(\alpha_{max}))}$

6. Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v_{max} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 0.2 \, \text{м} \cdot (1 - \cos(10^\circ))}$

Используем значение $\cos(10^\circ) \approx 0.9848$:

$v_{max} \approx \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.2 \cdot (1 - 0.9848)}$

$v_{max} \approx \sqrt{3.92 \cdot 0.0152} = \sqrt{0.059584} \approx 0.244 \, \text{м/с}$

Ответ: $v_{max} \approx 0.244$ м/с.