Номер 2, страница 152 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

2. По графику зависимости координаты $x, \text{см}$ колеблющегося тела от времени (рис. 151) определите все необходимые величины для записи уравнения движения и построения графика зависимости скорости и ускорения от времени.

Рис. 151. К упражнению 25д.2

Дано:

График зависимости координаты от времени $x(t)$.
Амплитуда $A = 10$ см.
Период $T = 16$ с.

Перевод в систему СИ:
$A = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.

Найти:

1. Величины, необходимые для записи уравнения движения.
2. Уравнение движения $x(t)$.
3. Уравнение зависимости скорости от времени $v(t)$.
4. Уравнение зависимости ускорения от времени $a(t)$.
5. Построить графики $v(t)$ и $a(t)$.

Решение:

1. Определим величины, необходимые для записи уравнения движения.
Уравнение гармонических колебаний в общем виде: $x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)$, где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $\varphi_0$ — начальная фаза.
Из графика находим амплитуду колебаний — это максимальное отклонение от положения равновесия:
$A = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$.
Период колебаний $T$ — время одного полного колебания. Из графика видно, что одно полное колебание завершается за $16$ с:
$T = 16 \text{ с}$.
Циклическая (угловая) частота $\omega$ связана с периодом соотношением:
$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8}$ рад/с.
Начальная фаза $\varphi_0$ определяется из начальных условий. В момент времени $t=0$, координата тела $x(0) = 0$. Подставим это в общее уравнение:
$0 = A \sin(\omega \cdot 0 + \varphi_0) \Rightarrow A \sin(\varphi_0) = 0$.
Так как $A \neq 0$, то $\sin(\varphi_0) = 0$, откуда $\varphi_0 = 0$ или $\varphi_0 = \pi$.
Чтобы выбрать правильное значение, посмотрим на направление начальной скорости. Из графика видно, что вблизи $t=0$ координата $x$ растет, значит, проекция скорости на ось $x$ положительна. Найдем уравнение для проекции скорости:
$v_x(t) = x'(t) = A\omega \cos(\omega t + \varphi_0)$.
При $t=0$, $v_x(0) = A\omega \cos(\varphi_0) > 0$.
Поскольку $A > 0$ и $\omega > 0$, то $\cos(\varphi_0)$ должен быть положительным.
Если $\varphi_0 = 0$, то $\cos(0) = 1 > 0$.
Если $\varphi_0 = \pi$, то $\cos(\pi) = -1 < 0$.
Следовательно, начальная фаза $\varphi_0 = 0$.

2. Запишем уравнение движения $x(t)$ в СИ:
$x(t) = 0.1 \sin(\frac{\pi}{8}t)$.

3. Найдем уравнение зависимости скорости от времени $v(t)$, взяв производную от координаты по времени:
$v(t) = x'(t) = (0.1 \sin(\frac{\pi}{8}t))' = 0.1 \cdot \frac{\pi}{8} \cos(\frac{\pi}{8}t) = \frac{\pi}{80} \cos(\frac{\pi}{8}t)$.
Амплитуда скорости: $v_{max} = A\omega = 0.1 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{80} \approx 0.039$ м/с.

4. Найдем уравнение зависимости ускорения от времени $a(t)$, взяв производную от скорости по времени:
$a(t) = v'(t) = (\frac{\pi}{80} \cos(\frac{\pi}{8}t))' = \frac{\pi}{80} \cdot (-\sin(\frac{\pi}{8}t)) \cdot \frac{\pi}{8} = -\frac{\pi^2}{640} \sin(\frac{\pi}{8}t)$.
Амплитуда ускорения: $a_{max} = A\omega^2 = 0.1 \cdot (\frac{\pi}{8})^2 = \frac{\pi^2}{640} \approx 0.015$ м/с².

5. Построение графиков $v(t)$ и $a(t)$.
График зависимости скорости от времени $v(t) = \frac{\pi}{80} \cos(\frac{\pi}{8}t)$:
Это график косинуса с амплитудой $v_{max} = \frac{\pi}{80}$ м/с и периодом $T = 16$ с.
Ключевые точки на оси времени:
- При $t=0$ с, $v = v_{max} = \frac{\pi}{80}$ м/с (максимум).
- При $t=4$ с, $v = 0$ м/с.
- При $t=8$ с, $v = -v_{max} = -\frac{\pi}{80}$ м/с (минимум).
- При $t=12$ с, $v = 0$ м/с.
- При $t=16$ с, $v = v_{max} = \frac{\pi}{80}$ м/с (конец периода).

График зависимости ускорения от времени $a(t) = -\frac{\pi^2}{640} \sin(\frac{\pi}{8}t)$:
Это график синуса, инвертированный относительно оси времени (знак "минус"), с амплитудой $a_{max} = \frac{\pi^2}{640}$ м/с² и периодом $T = 16$ с.
Ключевые точки на оси времени:
- При $t=0$ с, $a = 0$ м/с².
- При $t=4$ с, $a = -a_{max} = -\frac{\pi^2}{640}$ м/с² (минимум).
- При $t=8$ с, $a = 0$ м/с².
- При $t=12$ с, $a = a_{max} = \frac{\pi^2}{640}$ м/с² (максимум).
- При $t=16$ с, $a = 0$ м/с² (конец периода).

Ответ:

Необходимые величины: амплитуда $A=0.1$ м, период $T=16$ с, циклическая частота $\omega=\frac{\pi}{8}$ рад/с, начальная фаза $\varphi_0 = 0$.
Уравнение движения: $x(t) = 0.1 \sin(\frac{\pi}{8}t)$.
Уравнение скорости: $v(t) = \frac{\pi}{80} \cos(\frac{\pi}{8}t)$.
Уравнение ускорения: $a(t) = -\frac{\pi^2}{640} \sin(\frac{\pi}{8}t)$.
График скорости $v(t)$ представляет собой косинусоиду с амплитудой $\frac{\pi}{80}$ м/с. График ускорения $a(t)$ представляет собой синусоиду, инвертированную относительно оси времени, с амплитудой $\frac{\pi^2}{640}$ м/с². Период обоих графиков $T = 16$ с.