Эксперимент 3, страница 155 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Эксперимент 3

Определите опытным путем период колебаний пружинных маятников с разной жесткостью пружин, но одинаковой массой грузов. Определите жесткости пружин. Сравните соотношение жесткостей пружин с отношением периодов колебаний.

Определение периода колебаний пружинных маятников

Для экспериментального определения периода колебаний пружинных маятников с разной жесткостью, но одинаковой массой грузов, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Взять две пружины с предположительно разной жесткостью, штатив, груз известной массы $m$ и секундомер.

2. Собрать установку: подвесить первую пружину к лапке штатива и прикрепить к ней груз.

3. Вывести маятник из положения равновесия, сместив груз по вертикали на небольшое расстояние, и отпустить. Груз начнет совершать гармонические колебания.

4. Измерить с помощью секундомера время $t_1$, за которое маятник совершит достаточно большое число полных колебаний $N$ (например, $N = 20$ или $N = 30$). Чем больше $N$, тем точнее будет результат.

5. Рассчитать период колебаний для первого маятника по формуле: $T_1 = \frac{t_1}{N}$.

6. Заменить первую пружину на вторую и, не меняя массу груза $m$, повторить шаги 3-5. Измерить время $t_2$ для того же числа колебаний $N$.

7. Рассчитать период колебаний для второго маятника: $T_2 = \frac{t_2}{N}$.

В результате будут получены экспериментальные значения периодов колебаний $T_1$ и $T_2$.

Ответ: Период колебаний определяется путем измерения времени $t$ для $N$ полных колебаний и последующего расчета по формуле $T = t/N$. Эксперимент последовательно проводится для каждой пружины с одним и тем же грузом.

Определение жесткости пружин

Жесткость пружин можно определить статическим методом на основе закона Гука:

1. Подвесить первую пружину к штативу и измерить ее длину $l_{01}$ в недеформированном состоянии с помощью линейки.

2. Подвесить к свободному концу пружины тот же груз массой $m$, который использовался для измерения периода.

3. Дождаться, пока система придет в равновесие, и измерить новую длину пружины $l_1$.

4. Вычислить удлинение пружины: $\Delta x_1 = l_1 - l_{01}$.

5. В положении равновесия сила тяжести, действующая на груз ($F_{тяж} = mg$), уравновешена силой упругости пружины ($F_{упр1} = k_1 \Delta x_1$). Из равенства $mg = k_1 \Delta x_1$ можно выразить коэффициент жесткости:

$k_1 = \frac{mg}{\Delta x_1}$

где $g$ — ускорение свободного падения (принять $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$).

6. Повторить те же действия для второй пружины, чтобы определить ее коэффициент жесткости $k_2$.

Пример расчета:

Дано:

Масса груза: $m = 100 \, \text{г}$
Удлинение первой пружины: $\Delta x_1 = 5 \, \text{см}$
Удлинение второй пружины: $\Delta x_2 = 10 \, \text{см}$
Ускорение свободного падения: $g = 9.8 \, \text{м/с}^2$

Перевод в систему СИ:
$m = 0.1 \, \text{кг}$
$\Delta x_1 = 0.05 \, \text{м}$
$\Delta x_2 = 0.1 \, \text{м}$

Найти:

$k_1, k_2$

Решение:

Жесткость первой пружины:
$k_1 = \frac{mg}{\Delta x_1} = \frac{0.1 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2}{0.05 \, \text{м}} = 19.6 \, \text{Н/м}$
Жесткость второй пружины:
$k_2 = \frac{mg}{\Delta x_2} = \frac{0.1 \, \text{кг} \cdot 9.8 \, \text{м/с}^2}{0.1 \, \text{м}} = 9.8 \, \text{Н/м}$

Ответ: Жесткость пружины определяется по закону Гука. Для этого измеряется удлинение пружины $\Delta x$ под действием груза известной массы $m$, и жесткость вычисляется по формуле $k = \frac{mg}{\Delta x}$.

Сравнение соотношения жесткостей пружин с отношением периодов колебаний

Теоретическая формула периода колебаний пружинного маятника: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$.

Из формулы видно, что при постоянной массе $m$ период колебаний $T$ обратно пропорционален квадратному корню из жесткости пружины $k$: $T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}$.

Для двух наших пружин с жесткостями $k_1$ и $k_2$ и одинаковой массой груза $m$ периоды колебаний связаны следующим соотношением:

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{m/k_1}}{2\pi\sqrt{m/k_2}} = \sqrt{\frac{m/k_1}{m/k_2}} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$

Таким образом, отношение периодов колебаний равно квадратному корню из обратного отношения жесткостей. Для проверки этого вывода сравним экспериментальные данные.

Продолжение примера:

Пусть для пружин с жесткостями $k_1=19.6$ Н/м и $k_2=9.8$ Н/м и грузом $m=0.1$ кг в ходе эксперимента по измерению периодов были получены следующие времена для $N=20$ колебаний: $t_1 = 9.0$ с, $t_2 = 12.7$ с.

Рассчитаем экспериментальные периоды:
$T_1 = \frac{t_1}{N} = \frac{9.0 \, \text{с}}{20} = 0.45 \, \text{с}$
$T_2 = \frac{t_2}{N} = \frac{12.7 \, \text{с}}{20} = 0.635 \, \text{с}$

Теперь сравним отношения.

1. Экспериментальное отношение периодов:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{0.45}{0.635} \approx 0.709$

2. Теоретическое отношение, вычисленное через жесткости:
$\sqrt{\frac{k_2}{k_1}} = \sqrt{\frac{9.8 \, \text{Н/м}}{19.6 \, \text{Н/м}}} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$

Сравнивая полученные значения ($0.709$ и $0.707$), видим, что они практически совпадают. Небольшое расхождение объясняется погрешностями при измерении времени и удлинения.

Ответ: Отношение периодов колебаний двух пружинных маятников с одинаковыми массами обратно пропорционально отношению квадратных корней из их жесткостей, что выражается формулой $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$. Эксперимент подтверждает эту теоретическую зависимость.