Номер 3, страница 152 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

3. Выполнив все необходимые расчеты, изобразите графики зависимости координаты, скорости и ускорения от времени для маятника часов. Амплитуда колебаний 5 см, период 1 с.

Дано:

Амплитуда колебаний, $A = 5 \text{ см}$

Период колебаний, $T = 1 \text{ с}$

Перевод в систему СИ:

$A = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$T = 1 \text{ с}$

Найти:

Зависимости $x(t)$, $v(t)$, $a(t)$ и их графики.

Решение:

Гармонические колебания маятника описываются уравнением $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $A$ - амплитуда, $\omega$ - циклическая частота, $t$ - время, $\phi_0$ - начальная фаза.

Найдем циклическую частоту $\omega$ через период $T$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \text{ рад/с}$

Для простоты примем, что в начальный момент времени ($t=0$) маятник находился в крайнем правом положении, то есть имел максимальное отклонение. В этом случае начальная фаза $\phi_0 = 0$.

Зависимость координаты от времени

Уравнение зависимости координаты от времени имеет вид:

$x(t) = A \cos(\omega t)$

Подставим известные значения:

$x(t) = 0.05 \cos(2\pi t)$ (в метрах)

График этой зависимости - косинусоида с амплитудой $A = 0.05$ м и периодом $T = 1$ с. В момент $t=0$, $x=0.05$ м. В момент $t=0.5$ с, $x=-0.05$ м.

Ответ: $x(t) = 0.05 \cos(2\pi t)$ м.

Зависимость скорости от времени

Скорость является первой производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.

$v(t) = (0.05 \cos(2\pi t))' = -0.05 \cdot (2\pi) \sin(2\pi t) = -0.1\pi \sin(2\pi t)$ (в м/с)

Амплитуда скорости $v_{max} = 0.1\pi \approx 0.314$ м/с.

График этой зависимости - синусоида, инвертированная относительно оси абсцисс (из-за знака минус), с амплитудой $v_{max} = 0.1\pi$ м/с и периодом $T = 1$ с. Скорость равна нулю в крайних точках траектории ($t=0, t=0.5$ с) и максимальна по модулю при прохождении положения равновесия ($t=0.25$ с и $t=0.75$ с).

Ответ: $v(t) = -0.1\pi \sin(2\pi t)$ м/с.

Зависимость ускорения от времени

Ускорение является первой производной от скорости по времени: $a(t) = v'(t)$.

$a(t) = (-0.1\pi \sin(2\pi t))' = -0.1\pi \cdot (2\pi) \cos(2\pi t) = -0.2\pi^2 \cos(2\pi t)$ (в м/с²)

Амплитуда ускорения $a_{max} = 0.2\pi^2 \approx 1.97$ м/с².

График этой зависимости - косинусоида, инвертированная относительно оси абсцисс. Это означает, что график ускорения находится в противофазе с графиком координаты ($a(t) = -\omega^2 x(t)$). Амплитуда ускорения $a_{max} = 0.2\pi^2$ м/с² и период $T = 1$ с. Ускорение максимально по модулю в крайних точках траектории и равно нулю в положении равновесия.

Ответ: $a(t) = -0.2\pi^2 \cos(2\pi t)$ м/с².