Задание 2, страница 148 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 2

Выразите формулу расчета скорости тела на нити, совершающего колебательное движение, в любой момент времени.

Решение

Колебательное движение тела на нити (математического маятника) при малых углах отклонения можно считать гармоническим. Уравнение, описывающее положение тела (его смещение от положения равновесия) в любой момент времени $t$, имеет вид:

$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$

где:

• $x(t)$ – смещение тела от положения равновесия в момент времени $t$;
• $A$ – амплитуда колебаний (максимальное смещение);
• $\omega$ – циклическая (угловая) частота колебаний;
• $\varphi_0$ – начальная фаза колебаний.

Скорость тела $v(t)$ является первой производной от смещения $x(t)$ по времени. Чтобы найти формулу для скорости, необходимо продифференцировать уравнение смещения по времени $t$:

$v(t) = x'(t) = \frac{dx(t)}{dt}$

Подставляем выражение для $x(t)$:

$v(t) = \frac{d}{dt}(A \cos(\omega t + \varphi_0))$

Используя правило дифференцирования сложной функции (производная от косинуса равна минус синусу, и домножаем на производную аргумента), получаем:

$v(t) = A \cdot (-\sin(\omega t + \varphi_0)) \cdot (\omega t + \varphi_0)'$

$v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \varphi_0)$

Это и есть искомая формула. Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) $v_{max}$ равно $A\omega$, которое достигается при прохождении телом положения равновесия, когда $\sin(\omega t + \varphi_0)$ равен $\pm1$.

Для математического маятника (тело на нити) циклическая частота $\omega$ связана с длиной нити $L$ и ускорением свободного падения $g$ следующим соотношением (для малых колебаний):

$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$

Таким образом, формулу скорости можно записать и через параметры маятника:

$v(t) = -A\sqrt{\frac{g}{L}} \sin(\sqrt{\frac{g}{L}} t + \varphi_0)$

Ответ: Формула для расчета скорости тела на нити, совершающего колебательное движение, в любой момент времени $t$ имеет вид: $v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \varphi_0)$, где $A$ – амплитуда колебаний, $\omega$ – циклическая частота, $t$ – время, а $\varphi_0$ – начальная фаза колебаний.