Задание 1, страница 148 - гдз по физике 9 класс учебник Закирова, Аширов

Задание 1

Выразите формулы расчета скорости тела на пружине в любой момент времени из формул (5) и (6).

Для нахождения формул расчета скорости тела на пружине в любой момент времени, необходимо воспользоваться основными уравнениями, описывающими гармонические колебания. Скорость является первой производной координаты по времени. Предположим, что под формулами (5) и (6) подразумеваются закон сохранения энергии и уравнение движения (зависимость координаты от времени), соответственно.

Выражение скорости из закона сохранения энергии (предполагаемая формула 5)

Закон сохранения полной механической энергии для системы тело-пружина гласит, что сумма кинетической и потенциальной энергий постоянна:

$E_{полная} = E_к + E_п = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \text{const}$

где $m$ — масса тела, $v$ — его скорость, $k$ — жесткость пружины, $x$ — смещение тела от положения равновесия.

В точке максимального смещения (амплитуды $A$), скорость тела равна нулю ($v=0$), и вся энергия является потенциальной: $E_{полная} = \frac{1}{2}kA^2$.

Приравняем два выражения для полной энергии:

$\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2$

Выразим из этого уравнения скорость $v$:

$mv^2 = kA^2 - kx^2$

$mv^2 = k(A^2 - x^2)$

$v^2 = \frac{k}{m}(A^2 - x^2)$

Учитывая, что циклическая частота колебаний пружинного маятника равна $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, получим $\omega^2 = \frac{k}{m}$. Подставим это в уравнение:

$v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$

Извлекая квадратный корень, находим зависимость модуля скорости от координаты:

$v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$

Знак $\pm$ указывает на то, что в одной и той же точке (кроме крайних) тело может двигаться в двух противоположных направлениях.

Ответ: Формула расчета скорости тела в зависимости от его смещения $x$ имеет вид: $v(x) = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.

Выражение скорости из уравнения движения (предполагаемая формула 6)

Уравнение гармонических колебаний, описывающее смещение тела от положения равновесия в любой момент времени $t$, может быть представлено в виде (в зависимости от начальных условий):

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$ или $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$

где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

Скорость $v(t)$ является первой производной от координаты $x(t)$ по времени: $v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$.

Рассмотрим оба случая:

1. Если движение описывается функцией косинуса: $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

Тогда скорость находится дифференцированием:

$v(t) = \frac{d}{dt} (A \cos(\omega t + \phi_0)) = A \cdot (-\sin(\omega t + \phi_0)) \cdot \omega$

$v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$

2. Если движение описывается функцией синуса: $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$

Тогда скорость находится аналогично:

$v(t) = \frac{d}{dt} (A \sin(\omega t + \phi_0)) = A \cdot (\cos(\omega t + \phi_0)) \cdot \omega$

$v(t) = A\omega \cos(\omega t + \phi_0)$

Эти две формулы позволяют рассчитать мгновенную скорость тела в любой момент времени $t$.

Ответ: Формулы расчета скорости тела на пружине в любой момент времени $t$ имеют вид: $v(t) = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$ (если $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$) или $v(t) = A\omega \cos(\omega t + \phi_0)$ (если $x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$).