Номер 2, страница 4 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

2. Найдите значение выражения:

1) $3\sin 0^\circ + 4\cos 180^\circ;$

2) $5\sin 90^\circ - 7\operatorname{ctg} 90^\circ;$

3) $\cos^2 110^\circ + \sin^2 110^\circ;$

4) $\cos^2 40^\circ + \sin^2 140^\circ.$

2. Найдите значение выражения:

1) $3\sin 0^\circ + 4\cos 180^\circ$;

2) $5\sin 90^\circ - 7\ctg 90^\circ$;

3) $\cos^2 110^\circ + \sin^2 110^\circ$;

4) $\cos^2 40^\circ + \sin^2 140^\circ$.

1) $3\sin 0^\circ + 4\cos 180^\circ$

Для решения данного выражения необходимо знать значения тригонометрических функций для углов $0^\circ$ и $180^\circ$.

Значение синуса для угла $0^\circ$ равно $0$: $\sin 0^\circ = 0$.

Значение косинуса для угла $180^\circ$ равно $-1$: $\cos 180^\circ = -1$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$3\sin 0^\circ + 4\cos 180^\circ = 3 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 0 - 4 = -4$.

Ответ: -4

2) $5\sin 90^\circ - 7\operatorname{ctg} 90^\circ$

Найдем значения тригонометрических функций для угла $90^\circ$.

Значение синуса для угла $90^\circ$ равно $1$: $\sin 90^\circ = 1$.

Значение котангенса для угла $90^\circ$ равно $0$. Это можно вычислить по формуле $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$: $\operatorname{ctg} 90^\circ = \frac{\cos 90^\circ}{\sin 90^\circ} = \frac{0}{1} = 0$.

Подставим найденные значения в выражение:

$5\sin 90^\circ - 7\operatorname{ctg} 90^\circ = 5 \cdot 1 - 7 \cdot 0 = 5 - 0 = 5$.

Ответ: 5

3) $\cos^2 110^\circ + \sin^2 110^\circ$

Это выражение является частным случаем основного тригонометрического тождества, которое гласит: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ для любого угла $\alpha$.

В данном случае $\alpha = 110^\circ$.

Следовательно, $\cos^2 110^\circ + \sin^2 110^\circ = 1$.

Ответ: 1

4) $\cos^2 40^\circ + \sin^2 140^\circ$

В этом выражении углы различны, поэтому мы не можем сразу применить основное тригонометрическое тождество. Воспользуемся формулой приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.

Представим угол $140^\circ$ как $180^\circ - 40^\circ$:

$\sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$\cos^2 40^\circ + \sin^2 140^\circ = \cos^2 40^\circ + (\sin 40^\circ)^2 = \cos^2 40^\circ + \sin^2 40^\circ$.

Полученное выражение является основным тригонометрическим тождеством для угла $\alpha = 40^\circ$.

$\cos^2 40^\circ + \sin^2 40^\circ = 1$.

Ответ: 1