Номер 5, страница 4 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

5. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 120^\circ \cos 150^\circ \text{ tg } 135^\circ; $

2) $ 2\cos^2 135^\circ + 6\sin 150^\circ - 4\text{ctg } 90^\circ \cos 141^\circ. $

5. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 120^\circ \cos 150^\circ \operatorname{tg} 135^\circ; $

2) $ 2\cos^2 135^\circ + 6\sin 150^\circ - 4\operatorname{ctg} 90^\circ \cos 141^\circ. $

1) $\sin 120^\circ \cos 150^\circ \text{tg} 135^\circ$

Для вычисления значения выражения воспользуемся формулами приведения, чтобы свести тригонометрические функции углов второй четверти (от 90° до 180°) к функциям острых углов.

Найдем значение каждого множителя:

Синус $120^\circ$. Угол $120^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен.
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Косинус $150^\circ$. Угол $150^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен.
$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Тангенс $135^\circ$. Угол $135^\circ$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен.
$\text{tg} 135^\circ = \text{tg}(180^\circ - 45^\circ) = -\text{tg} 45^\circ = -1$.

Теперь перемножим полученные значения:

$\sin 120^\circ \cos 150^\circ \text{tg} 135^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot (-1) = -\frac{3}{4} \cdot (-1) = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

2) $2\cos^2 135^\circ + 6\sin 150^\circ - 4\text{ctg} 90^\circ \cos 141^\circ$

Вычислим значение каждого слагаемого в выражении по отдельности.

Первое слагаемое: $2\cos^2 135^\circ$.
Сначала найдем $\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Тогда $2\cos^2 135^\circ = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Второе слагаемое: $6\sin 150^\circ$.
Найдем $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.
Тогда $6\sin 150^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Третье слагаемое: $4\text{ctg} 90^\circ \cos 141^\circ$.
Значение котангенса для угла $90^\circ$ равно нулю: $\text{ctg} 90^\circ = 0$.
Поэтому все произведение равно нулю: $4\text{ctg} 90^\circ \cos 141^\circ = 4 \cdot 0 \cdot \cos 141^\circ = 0$.

Теперь сложим и вычтем полученные результаты:

$1 + 3 - 0 = 4$.

Ответ: $4$