Номер 11, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см, а синус угла между ними равен $ \frac{2\sqrt{2}}{3} $. Найдите третью сторону треугольника.

11. Две стороны треугольника равны 6 см и 9 см, а синус угла между ними равен $2\frac{\sqrt{2}}{3}$. Найдите третью сторону треугольника.

Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся теоремой косинусов. Пусть $a=6$ см и $b=9$ см — известные стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Тогда квадрат искомой третьей стороны $c$ вычисляется по формуле:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Нам известен синус угла $\gamma$: $\sin(\gamma) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Чтобы применить теорему косинусов, нам нужно найти $\cos(\gamma)$. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$.
$\cos^2(\gamma) = 1 - \sin^2(\gamma)$
$\cos^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$

Из этого следует, что $\cos(\gamma)$ может принимать два значения: $\cos(\gamma) = \frac{1}{3}$ (если угол $\gamma$ острый) или $\cos(\gamma) = -\frac{1}{3}$ (если угол $\gamma$ тупой). Поскольку условие задачи не уточняет, является ли угол острым или тупым, мы должны рассмотреть оба варианта.

Вариант 1: $\cos(\gamma) = \frac{1}{3}$
Подставляем это значение в теорему косинусов:
$c^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \frac{1}{3} = 36 + 81 - 36 = 81$
$c = \sqrt{81} = 9$ см.

Вариант 2: $\cos(\gamma) = -\frac{1}{3}$
Подставляем это значение в теорему косинусов:
$c^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 36 + 81 + 36 = 153$
$c = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$ см.

Таким образом, задача имеет два возможных решения, так как угол между заданными сторонами может быть как острым, так и тупым.
Ответ: 9 см или $3\sqrt{17}$ см.