Номер 14, страница 5 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно такие точки $D$ и $E$, что $AD = 3 \text{ см}$, $EC = 6 \text{ см}$. Найдите отрезок $DE$, если $AB = 8 \text{ см}$, $BC = 12 \text{ см}$, $AC = 10 \text{ см}$.

14. На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены соответственно такие точки $D$ и $E$, что $AD = 3$ см, $EC = 6$ см. Найдите отрезок $DE$, если $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $AC = 10$ см.

По условию задачи дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 8$ см, $AC = 10$ см, $BC = 12$ см. На сторонах $AB$ и $AC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно, так что $AD = 3$ см и $EC = 6$ см.

Найдем длину отрезка $AE$. Точка $E$ лежит на отрезке $AC$, следовательно:

$AE = AC - EC = 10 - 6 = 4$ см.

Рассмотрим треугольники $ADE$ и $ABC$. Угол $A$ у них общий. Проверим, подобны ли эти треугольники по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Для этого должно выполняться равенство отношений сторон:

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$

Подставим известные значения:

$\frac{3}{8}$ и $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Так как $\frac{3}{8} \neq \frac{2}{5}$, то треугольники $ADE$ и $ABC$ не являются подобными. Поэтому для нахождения длины отрезка $DE$ воспользуемся теоремой косинусов.

Сначала найдем косинус угла $A$ из треугольника $ABC$ по теореме косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A)$

Подставим длины сторон треугольника $ABC$:

$12^2 = 8^2 + 10^2 - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cdot \cos(\angle A)$

$144 = 64 + 100 - 160 \cdot \cos(\angle A)$

$144 = 164 - 160 \cdot \cos(\angle A)$

Выразим отсюда $\cos(\angle A)$:

$160 \cdot \cos(\angle A) = 164 - 144 = 20$

$\cos(\angle A) = \frac{20}{160} = \frac{1}{8}$

Теперь, зная две стороны ($AD = 3$ см, $AE = 4$ см) и косинус угла между ними в треугольнике $ADE$, найдем длину стороны $DE$ по теореме косинусов:

$DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2 \cdot AD \cdot AE \cdot \cos(\angle A)$

Подставим известные значения:

$DE^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{8}$

$DE^2 = 9 + 16 - \frac{24}{8}$

$DE^2 = 25 - 3$

$DE^2 = 22$

Следовательно, длина отрезка $DE$ равна:

$DE = \sqrt{22}$ см.

Ответ: $\sqrt{22}$ см.