Номер 20, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB=BC=10$ см, $CD=9$ см, $AD=21$ см. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

20. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = BC = 10 \text{ см}$, $CD = 9 \text{ см}$, $AD = 21 \text{ см}$. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

Поскольку около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, он является вписанным. Основное свойство вписанного четырёхугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Из этого следует, что $\cos(\angle C) = \cos(180^\circ - \angle A) = -\cos(\angle A)$.

Рассмотрим диагональ BD. Она делит четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. Мы можем выразить квадрат длины этой диагонали, используя теорему косинусов для каждого из этих треугольников.

Применим теорему косинусов для треугольника $\triangle ABD$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A)$
Подставим известные значения сторон $AB = 10$ см и $AD = 21$ см:
$BD^2 = 10^2 + 21^2 - 2 \cdot 10 \cdot 21 \cdot \cos(\angle A)$
$BD^2 = 100 + 441 - 420 \cos(\angle A)$
$BD^2 = 541 - 420 \cos(\angle A)$

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $\triangle BCD$:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle C)$
Подставим известные значения сторон $BC = 10$ см и $CD = 9$ см:
$BD^2 = 10^2 + 9^2 - 2 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \cos(\angle C)$
$BD^2 = 100 + 81 - 180 \cos(\angle C)$
$BD^2 = 181 - 180 \cos(\angle C)$

Используя свойство вписанного четырёхугольника $\cos(\angle C) = -\cos(\angle A)$, заменим $\cos(\angle C)$ в последнем выражении:
$BD^2 = 181 - 180(-\cos(\angle A))$
$BD^2 = 181 + 180 \cos(\angle A)$

Теперь у нас есть два выражения для $BD^2$. Приравняем их правые части, чтобы найти $\cos(\angle A)$:
$541 - 420 \cos(\angle A) = 181 + 180 \cos(\angle A)$
$541 - 181 = 180 \cos(\angle A) + 420 \cos(\angle A)$
$360 = 600 \cos(\angle A)$
$\cos(\angle A) = \frac{360}{600} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0.6$

Подставим найденное значение $\cos(\angle A)$ в любое из выражений для $BD^2$. Воспользуемся вторым:
$BD^2 = 181 + 180 \cos(\angle A)$
$BD^2 = 181 + 180 \cdot 0.6$
$BD^2 = 181 + 108$
$BD^2 = 289$

Найдём длину диагонали $BD$, извлекая квадратный корень:
$BD = \sqrt{289} = 17$ см.

Ответ: 17 см.