Номер 27, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

27. Сторона треугольника равна 42 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 30 см и 60 см. Найдите третью медиану треугольника.

27. Сторона треугольника равна 42 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 30 см и 60 см. Найдите третью медиану треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а медианы, проведенные к этим сторонам, равны $m_a, m_b, m_c$ соответственно.

По условию задачи дано: сторона $a = 42$ см; медиана к стороне $b$, $m_b = 30$ см; медиана к стороне $c$, $m_c = 60$ см. Необходимо найти медиану $m_a$.

Воспользуемся свойством медиан треугольника: все три медианы пересекаются в одной точке (центроиде), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Пусть $O$ — точка пересечения медиан. Тогда она делит медианы $m_b$ и $m_c$ на отрезки. Больший отрезок медианы $m_b$ (от вершины до точки $O$) равен $\frac{2}{3} m_b = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20$ см. Больший отрезок медианы $m_c$ (от вершины до точки $O$) равен $\frac{2}{3} m_c = \frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ см.

Рассмотрим треугольник, образованный двумя вершинами исходного треугольника (концами стороны $a$) и точкой пересечения медиан $O$. Сторонами этого треугольника являются сторона $a=42$ см и два найденных отрезка медиан: 20 см и 40 см.

Пусть $D$ — середина стороны $a$. Тогда отрезок $OD$, соединяющий точку $O$ с серединой стороны $a$, является медианой в этом новом треугольнике, проведенной к стороне длиной 42 см. Длина отрезка $OD$ составляет одну треть от искомой медианы $m_a$, то есть $OD = \frac{1}{3} m_a$.

Для нахождения длины медианы треугольника воспользуемся формулой для квадрата ее длины: $m_x^2 = \frac{2y^2 + 2z^2 - x^2}{4}$, где $m_x$ — медиана к стороне $x$, а $y$ и $z$ — две другие стороны.

В нашем случае для треугольника со сторонами 42, 20 и 40, квадрат медианы $OD$ к стороне 42 будет равен: $OD^2 = \frac{2 \cdot 20^2 + 2 \cdot 40^2 - 42^2}{4} = \frac{2 \cdot 400 + 2 \cdot 1600 - 1764}{4} = \frac{800 + 3200 - 1764}{4} = \frac{4000 - 1764}{4} = \frac{2236}{4} = 559$.

Так как $OD = \frac{1}{3} m_a$, то $m_a = 3 \cdot OD$. Возведем обе части в квадрат: $m_a^2 = (3 \cdot OD)^2 = 9 \cdot OD^2$.

Подставим найденное значение $OD^2$: $m_a^2 = 9 \cdot 559 = 5031$.

Следовательно, длина третьей медианы $m_a = \sqrt{5031}$ см.

Ответ: $\sqrt{5031}$ см.