Номер 29, страница 6 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Теорема синусов. Вариант 1. Упражнения - номер 29, страница 6.

Условие 2017.

29. В треугольнике $ABC AB = 3\sqrt{2}$ см, $\angle A = 15^\circ$, $\angle C = 135^\circ$. Найдите сторону $AC$.

Условие 2021.

29. В треугольнике ABC $AB = 3\sqrt{2}$ см, $\angle A = 15^\circ$, $\angle C = 135^\circ$. Найдите сторону $AC$.

Решение.

Решение 2 (2021).

Для нахождения стороны $AC$ треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Но сначала нам нужно найти угол $B$, противолежащий искомой стороне.

1. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Используя это свойство, найдем угол $B$:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C)$

Подставим известные значения углов $\angle A = 15^\circ$ и $\angle C = 135^\circ$:

$\angle B = 180^\circ - (15^\circ + 135^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$

2. Теперь применим теорему синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Выразим из этой формулы искомую сторону $AC$:

$AC = \frac{AB \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle C)}$

3. Подставим известные значения в полученную формулу: $AB = 3\sqrt{2}$ см, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 135^\circ$.

$AC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(135^\circ)}$

Для вычисления нам понадобятся значения синусов:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

4. Подставим числовые значения синусов в формулу и вычислим $AC$:

$AC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3$ см.

Ответ: 3 см.