Номер 33, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

33. Сторона треугольника равна 16 см, а радиус окружности, описанной около треугольника, — $8\sqrt{2}$ см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

33. Сторона треугольника равна 16 см, а радиус окружности, описанной около треугольника, — $8\sqrt{2}$ см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

Для нахождения угла треугольника, противолежащего данной стороне, воспользуемся следствием из теоремы синусов. Эта теорема связывает сторону треугольника ($a$), синус противолежащего ей угла ($\sin \alpha$) и радиус описанной окружности ($R$) следующим соотношением:
$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

Из этой формулы выразим синус искомого угла $\alpha$:
$ \sin \alpha = \frac{a}{2R} $

По условию задачи нам даны следующие значения:
Сторона треугольника $a = 16$ см.
Радиус описанной окружности $R = 8\sqrt{2}$ см.

Подставим эти значения в формулу для нахождения синуса угла:
$ \sin \alpha = \frac{16}{2 \cdot 8\sqrt{2}} = \frac{16}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:
$ \sin \alpha = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Угол треугольника может иметь значение от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне существует два угла, синус которых равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$:
1. Острый угол: $\alpha_1 = 45^\circ$.
2. Тупой угол: $\alpha_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Поскольку в условии задачи нет дополнительной информации (например, о других углах или сторонах), которая позволила бы выбрать один из вариантов, то задача имеет два возможных решения.

Ответ: $45^\circ$ или $135^\circ$.