Номер 38, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $\alpha$, а биссектриса угла при основании равна $m$. Найдите стороны треугольника.

38. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $\alpha$, а биссектриса угла при основании равна $m$. Найдите стороны треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Боковые стороны равны $AB = BC$. Угол при вершине $\angle B = \alpha$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны, и их можно найти из условия, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:
$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Пусть $AD$ – биссектриса угла при основании $\angle BAC$, проведенная к боковой стороне $BC$. По условию, длина биссектрисы $AD = m$.
Так как $AD$ – биссектриса, она делит угол $\angle BAC$ пополам:
$\angle DAC = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{90^\circ - \frac{\alpha}{2}}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Найдем все его углы:
• Угол $\angle DAC = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.
• Угол $\angle ACD$ равен углу при основании исходного треугольника: $\angle ACD = \angle BCA = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.
• Третий угол $\angle ADC$ найдем из суммы углов треугольника:
$\angle ADC = 180^\circ - (\angle DAC + \angle ACD) = 180^\circ - (45^\circ - \frac{\alpha}{4} + 90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - (135^\circ - \frac{3\alpha}{4}) = 45^\circ + \frac{3\alpha}{4}$.

Теперь, зная все углы и одну сторону ($AD = m$) в треугольнике $ADC$, мы можем найти остальные его стороны, в частности сторону $AC$, которая является основанием исходного треугольника. Применим теорему синусов для треугольника $ADC$:
$\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)}$
Подставим известные значения:
$\frac{AC}{\sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})} = \frac{m}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})}$
Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем:
$\frac{AC}{\sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})} = \frac{m}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$
Отсюда находим длину основания $AC$:
$AC = \frac{m \cdot \sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Для нахождения боковой стороны $AB$ применим теорему синусов к исходному треугольнику $ABC$:
$\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$
$\frac{AB}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = \frac{AC}{\sin(\alpha)}$
Выразим $AB$:
$AB = AC \cdot \frac{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha)} = AC \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha)}$
Подставим найденное ранее выражение для $AC$:
$AB = \frac{m \cdot \sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha)} = \frac{m \cdot \sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})}{\sin(\alpha)}$
Поскольку треугольник равнобедренный, $BC = AB$.

Ответ:
Боковые стороны треугольника равны $ \frac{m \sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})}{\sin(\alpha)} $.
Основание треугольника равно $ \frac{m \sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} $.