Номер 42, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

42. Основания равнобокой трапеции равны 5 см и 21 см, а боковая сторона — 17 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

42. Основания равнобокой трапеции равны 5 см и 21 см, а боковая сторона — 17 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, $AD = 21$ см, $BC = 5$ см, а боковые стороны $AB = CD = 17$ см.

Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного тремя любыми вершинами трапеции. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника $ABD$.

Радиус $R$ описанной около треугольника окружности можно найти по формуле $R = \frac{s_1 s_2 s_3}{4S}$, где $s_1, s_2, s_3$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь. Для треугольника $ABD$ сторонами являются $AB$, $AD$ и диагональ $BD$.

Для нахождения диагонали $BD$ и площади треугольника $ABD$ сначала найдем высоту трапеции. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает от большего основания, равен полуразности оснований:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$BH = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь найдем длину диагонали $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Катет $HD$ равен:

$HD = AD - AH = 21 - 8 = 13$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $BHD$:

$BD^2 = BH^2 + HD^2 = 15^2 + 13^2 = 225 + 169 = 394$

$BD = \sqrt{394}$ см.

Теперь у нас есть все три стороны треугольника $ABD$: $AB=17$ см, $AD=21$ см, $BD=\sqrt{394}$ см.Найдем площадь треугольника $ABD$:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 15 = \frac{315}{2}$ см$^2$.

Наконец, вычислим радиус описанной окружности:

$R = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4 \cdot S_{ABD}} = \frac{17 \cdot 21 \cdot \sqrt{394}}{4 \cdot \frac{315}{2}} = \frac{17 \cdot 21 \cdot \sqrt{394}}{2 \cdot 315}$

Упростим выражение, зная, что $315 = 15 \cdot 21$:

$R = \frac{17 \cdot 21 \cdot \sqrt{394}}{2 \cdot 15 \cdot 21} = \frac{17\sqrt{394}}{30}$ см.

Ответ: $\frac{17\sqrt{394}}{30}$ см.