Номер 45, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ADC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $BDC$, равен 12 см, $AC = 6$ см, $BC = 8$ см.

45. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ADC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $BDC$, равен 12 см, $AC = 6$ см, $BC = 8$ см.

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов, которая гласит, что для любого треугольника отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла является величиной постоянной, равной удвоенному радиусу описанной около треугольника окружности:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Рассмотрим треугольник $BDC$. Нам известны радиус описанной около него окружности $R_{BDC} = 12$ см и длина стороны $BC = 8$ см. Применим теорему синусов для стороны $BC$ и противолежащего ей угла $\angle BDC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle BDC)} = 2R_{BDC}$

Подставим известные значения и найдем синус угла $\angle BDC$:

$\frac{8}{\sin(\angle BDC)} = 2 \cdot 12$

$\frac{8}{\sin(\angle BDC)} = 24$

$\sin(\angle BDC) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Нам нужно найти радиус описанной около него окружности $R_{ADC}$. Известна длина стороны $AC = 6$ см. Снова применим теорему синусов для стороны $AC$ и противолежащего ей угла $\angle ADC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = 2R_{ADC}$

По условию, точка $D$ лежит на стороне $AB$. Это означает, что углы $\angle ADC$ и $\angle BDC$ являются смежными, а их сумма составляет $180^\circ$:

$\angle ADC + \angle BDC = 180^\circ$

Синусы смежных углов равны, поэтому:

$\sin(\angle ADC) = \sin(180^\circ - \angle BDC) = \sin(\angle BDC) = \frac{1}{3}$

Теперь мы можем подставить все известные значения в формулу для треугольника $ADC$ и найти $R_{ADC}$:

$\frac{6}{\sin(\angle ADC)} = 2R_{ADC}$

$\frac{6}{\frac{1}{3}} = 2R_{ADC}$

$6 \cdot 3 = 2R_{ADC}$

$18 = 2R_{ADC}$

$R_{ADC} = \frac{18}{2} = 9$

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника $ADC$, равен 9 см.

Ответ: 9 см.