Номер 39, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Теорема синусов. Вариант 1. Упражнения - номер 39, страница 7.

Условие 2017.

39. В треугольнике ABC провели биссектрису BD. Найдите стороны треугольника ABC, если $BD = m$, $\angle A = \alpha$, $\angle C = \gamma$.

Условие 2021.

39. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$. Найдите стороны треугольника $ABC$, если $BD = m$, $\angle A = \alpha$, $\angle C = \gamma$.

Решение.

Решение 2 (2021).

Для нахождения сторон треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Сначала найдем все углы в треугольниках $ABD$ и $CBD$.

1. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle B$ равен:
$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$.

2. Так как $BD$ — биссектриса, она делит угол $\angle B$ пополам:
$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{180^\circ - (\alpha + \gamma)}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2}$.

3. Рассмотрим $\triangle ABD$. Найдем третий угол $\angle BDA$:
$\angle BDA = 180^\circ - \angle A - \angle ABD = 180^\circ - \alpha - \left(90^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2}\right) = 90^\circ - \alpha + \frac{\alpha + \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha - \gamma}{2}$.

4. Применим теорему синусов к $\triangle ABD$, зная сторону $BD=m$ и все углы:
$\frac{AB}{\sin(\angle BDA)} = \frac{BD}{\sin(\angle A)}$
$AB = \frac{BD \cdot \sin(\angle BDA)}{\sin(\angle A)} = \frac{m \cdot \sin\left(90^\circ - \frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\alpha)}$.
Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем выражение для стороны $AB$:

$AB = \frac{m \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\alpha)}$.

5. Теперь рассмотрим $\triangle CBD$. Найдем третий угол $\angle BDC$:
$\angle BDC = 180^\circ - \angle C - \angle DBC = 180^\circ - \gamma - \left(90^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2}\right) = 90^\circ - \gamma + \frac{\alpha + \gamma}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha - \gamma}{2}$.

6. Применим теорему синусов к $\triangle CBD$ для нахождения стороны $BC$ :
$\frac{BC}{\sin(\angle BDC)} = \frac{BD}{\sin(\angle C)}$
$BC = \frac{BD \cdot \sin(\angle BDC)}{\sin(\angle C)} = \frac{m \cdot \sin\left(90^\circ + \frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\gamma)}$.
Используя формулу приведения $\sin(90^\circ + x) = \cos(x)$, получаем выражение для стороны $BC$:

$BC = \frac{m \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\gamma)}$.

7. Наконец, найдем сторону $AC$. Для этого применим теорему синусов к исходному треугольнику $ABC$:
$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$
$AC = \frac{AB \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle C)} = \frac{AB \cdot \sin(180^\circ - (\alpha + \gamma))}{\sin(\gamma)}$.
Так как $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, то $\sin(\angle B) = \sin(\alpha + \gamma)$. Подставим найденное ранее выражение для $AB$:

$AC = \frac{m \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha + \gamma)}{\sin(\gamma)} = \frac{m \sin(\alpha + \gamma) \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\alpha)\sin(\gamma)}$.

Ответ:
$AB = \frac{m \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\alpha)}$
$BC = \frac{m \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\gamma)}$
$AC = \frac{m \sin(\alpha + \gamma) \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\alpha)\sin(\gamma)}$