Номер 46, страница 8 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника ABC, если:

1) $AC = 8$ см, $\angle B = 48^\circ$, $\angle C = 56^\circ$;

2) $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $\angle B = 110^\circ$;

3) $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $AC = 6$ см;

4) $AB = 4$ см, $BC = 6$ см, $\angle A = 100^\circ$;

5) $AB = 8$ см, $BC = 9$ см, $\angle A = 40^\circ$;

6) $AB = 6$ см, $BC = 5$ см, $\angle A = 20^\circ$;

7) $AB = 6$ см, $BC = 3$ см, $\angle A = 40^\circ$.

46. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника ABC, если:

1) $AC = 8$ см, $\angle B = 48^\circ$, $\angle C = 56^\circ$;

2) $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $\angle B = 110^\circ$;

3) $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $AC = 6$ см;

4) $AB = 4$ см, $BC = 6$ см, $\angle A = 100^\circ$;

5) $AB = 8$ см, $BC = 9$ см, $\angle A = 40^\circ$;

6) $AB = 6$ см, $BC = 5$ см, $\angle A = 20^\circ$;

7) $AB = 6$ см, $BC = 3$ см, $\angle A = 40^\circ$.

Для решения данных задач будем использовать теорему синусов, теорему косинусов и свойство суммы углов треугольника (равна $180°$).

Теорема синусов: Отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $

1) Дано: $AC = 8$ см, $∠B = 48°$, $∠C = 56°$.

Сначала найдем третий угол треугольника, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180°$.

$∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 48° - 56° = 76°$.

Теперь воспользуемся теоремой синусов для нахождения неизвестных сторон $AB$ (сторона $c$) и $BC$ (сторона $a$):

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{BC}{\sin 76°} = \frac{8}{\sin 48°} = \frac{AB}{\sin 56°}$

Найдем сторону $BC$:

$BC = \frac{8 \cdot \sin 76°}{\sin 48°} \approx \frac{8 \cdot 0.9703}{0.7431} \approx 10.45$ см.

Найдем сторону $AB$:

$AB = \frac{8 \cdot \sin 56°}{\sin 48°} \approx \frac{8 \cdot 0.8290}{0.7431} \approx 8.92$ см.

Ответ: $∠A = 76°$, $BC \approx 10.45$ см, $AB \approx 8.92$ см.

2) Дано: $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $∠B = 110°$.

Найдем сторону $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 110° = 16 + 25 - 40 \cdot (-0.3420) \approx 41 + 13.68 = 54.68$.

$AC = \sqrt{54.68} \approx 7.39$ см.

Теперь найдем углы $A$ и $C$ по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \implies \sin A = \frac{BC \cdot \sin B}{AC}$

$\sin A \approx \frac{5 \cdot \sin 110°}{7.39} \approx \frac{5 \cdot 0.9397}{7.39} \approx 0.6358$.

$∠A = \arcsin(0.6358) \approx 39.47°$.

Найдем угол $C$ из суммы углов треугольника:

$∠C = 180° - ∠A - ∠B \approx 180° - 39.47° - 110° = 30.53°$.

Ответ: $AC \approx 7.39$ см, $∠A \approx 39.47°$, $∠C \approx 30.53°$.

3) Дано: $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $AC = 6$ см.

Так как известны все три стороны, мы можем найти углы с помощью теоремы косинусов.

Найдем угол $A$ (противолежащий стороне $BC$):

$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{3^2 + 6^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{9 + 36 - 16}{36} = \frac{29}{36} \approx 0.8056$.

$∠A = \arccos(0.8056) \approx 36.34°$.

Найдем угол $B$ (противолежащий стороне $AC$):

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{3^2 + 4^2 - 6^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 36}{24} = \frac{-11}{24} \approx -0.4583$.

$∠B = \arccos(-0.4583) \approx 117.28°$.

Найдем угол $C$ из суммы углов треугольника:

$∠C = 180° - ∠A - ∠B \approx 180° - 36.34° - 117.28° = 26.38°$.

Ответ: $∠A \approx 36.34°$, $∠B \approx 117.28°$, $∠C \approx 26.38°$.

4) Дано: $AB = 4$ см, $BC = 6$ см, $∠A = 100°$.

Используем теорему синусов, чтобы найти угол $C$, противолежащий стороне $AB$.

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$

$\sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = \frac{4 \cdot \sin 100°}{6} \approx \frac{4 \cdot 0.9848}{6} \approx 0.6565$.

Так как угол $A$ тупой ($100°$), углы $B$ и $C$ должны быть острыми. Поэтому для $C$ существует только одно решение.

$∠C = \arcsin(0.6565) \approx 41.04°$.

Найдем угол $B$ из суммы углов треугольника:

$∠B = 180° - ∠A - ∠C \approx 180° - 100° - 41.04° = 38.96°$.

Теперь найдем сторону $AC$ по теореме синусов:

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

$AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} \approx \frac{6 \cdot \sin 38.96°}{\sin 100°} \approx \frac{6 \cdot 0.6288}{0.9848} \approx 3.83$ см.

Ответ: $AC \approx 3.83$ см, $∠B \approx 38.96°$, $∠C \approx 41.04°$.

5) Дано: $AB = 8$ см, $BC = 9$ см, $∠A = 40°$.

Используем теорему синусов, чтобы найти угол $C$:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$

$\sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = \frac{8 \cdot \sin 40°}{9} \approx \frac{8 \cdot 0.6428}{9} \approx 0.5714$.

Существует два возможных угла, синус которых равен $0.5714$: $∠C_1 \approx 34.85°$ и $∠C_2 = 180° - 34.85° = 145.15°$.

Проверим оба случая:

1) Если $∠C = 145.15°$, то сумма углов $A$ и $C$ будет $40° + 145.15° = 185.15°$, что больше $180°$. Этот случай невозможен.

2) Если $∠C \approx 34.85°$, то сумма углов $A$ и $C$ меньше $180°$, значит, такое решение существует.

Найдем угол $B$:

$∠B = 180° - ∠A - ∠C \approx 180° - 40° - 34.85° = 105.15°$.

Найдем сторону $AC$ по теореме синусов:

$AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} \approx \frac{9 \cdot \sin 105.15°}{\sin 40°} \approx \frac{9 \cdot 0.9652}{0.6428} \approx 13.51$ см.

Ответ: $AC \approx 13.51$ см, $∠B \approx 105.15°$, $∠C \approx 34.85°$.

6) Дано: $AB = 6$ см, $BC = 5$ см, $∠A = 20°$.

Используем теорему синусов для нахождения угла $C$:

$\sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = \frac{6 \cdot \sin 20°}{5} \approx \frac{6 \cdot 0.3420}{5} \approx 0.4104$.

Так как $\sin C < 1$ и сторона, противолежащая данному углу ($BC=5$ см), меньше другой данной стороны ($AB=6$ см), то задача может иметь два решения. Найдем оба возможных угла $C$:

$∠C_1 = \arcsin(0.4104) \approx 24.23°$.

$∠C_2 = 180° - 24.23° = 155.77°$.

Проверим оба случая.

Случай 1: $∠C_1 \approx 24.23°$.

Сумма углов $A$ и $C_1$ равна $20° + 24.23° = 44.23° < 180°$, значит, такое решение существует.

$∠B_1 = 180° - 20° - 24.23° = 135.77°$.

$AC_1 = \frac{BC \cdot \sin B_1}{\sin A} \approx \frac{5 \cdot \sin 135.77°}{\sin 20°} \approx \frac{5 \cdot 0.6975}{0.3420} \approx 10.20$ см.

Случай 2: $∠C_2 \approx 155.77°$.

Сумма углов $A$ и $C_2$ равна $20° + 155.77° = 175.77° < 180°$, значит, такое решение тоже существует.

$∠B_2 = 180° - 20° - 155.77° = 4.23°$.

$AC_2 = \frac{BC \cdot \sin B_2}{\sin A} \approx \frac{5 \cdot \sin 4.23°}{\sin 20°} \approx \frac{5 \cdot 0.0738}{0.3420} \approx 1.08$ см.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Существует два возможных треугольника: 1) $AC \approx 10.20$ см, $∠B \approx 135.77°$, $∠C \approx 24.23°$; 2) $AC \approx 1.08$ см, $∠B \approx 4.23°$, $∠C \approx 155.77°$.

7) Дано: $AB = 6$ см, $BC = 3$ см, $∠A = 40°$.

Попробуем найти угол $C$ с помощью теоремы синусов:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$

$\sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = \frac{6 \cdot \sin 40°}{3} = 2 \cdot \sin 40°$.

Так как $\sin 40° \approx 0.6428$, то $\sin C \approx 2 \cdot 0.6428 = 1.2856$.

Значение синуса угла не может быть больше 1. Следовательно, треугольника с заданными параметрами не существует.

Ответ: Треугольника с такими параметрами не существует.